tag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post4135173516024861936..comments2024-02-23T23:28:28.619+08:00Comments on 哲學哲學雞蛋糕: 烏龜悖論︰林茲的解法朱家安http://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comBlogger47125tag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-15787725729241378722019-03-18T02:11:32.629+08:002019-03-18T02:11:32.629+08:00好讚啊!!謝謝樓上所有認真思考後發出來供大家討論的人們!!體會到了數學跟物理的美好!那我去寫作業了哈...好讚啊!!謝謝樓上所有認真思考後發出來供大家討論的人們!!體會到了數學跟物理的美好!那我去寫作業了哈XDD斈君https://www.blogger.com/profile/06208377552755259906noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-2688994730024797662012-09-06T13:28:21.064+08:002012-09-06T13:28:21.064+08:00其实,这个不是悖论。
是一幅照片。
在照片里的人怎么能赶上另一个呢?
再深一层的意思是什么呢?
世...其实,这个不是悖论。<br />是一幅照片。<br />在照片里的人怎么能赶上另一个呢?<br /><br />再深一层的意思是什么呢?<br />世界本身就是一份一份的。<br />是你自己误解了,以为有个连续的东西在那里。Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-83905531797584950362011-03-04T03:35:50.953+08:002011-03-04T03:35:50.953+08:00今天重看了一次這篇
⊆∀⊥⊻ιN講的讓我恍然大悟今天重看了一次這篇<br />⊆∀⊥⊻ιN講的讓我恍然大悟Kevin.Wnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-57557132486784457722010-11-04T11:02:31.454+08:002010-11-04T11:02:31.454+08:00他只是在阿基里斯還沒追上烏龜之前
對時間作了無限次的分割
這個無限跟時間性上的無限 是不一致的他只是在阿基里斯還沒追上烏龜之前<br />對時間作了無限次的分割<br />這個無限跟時間性上的無限 是不一致的Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-12998306330777929842009-06-01T23:34:33.487+08:002009-06-01T23:34:33.487+08:00如果1+1=2能包含一顆蘋果加上一顆蘋果等於兩顆蘋果的概念...
那我就能接受使用微積分或其他數學解...如果1+1=2能包含一顆蘋果加上一顆蘋果等於兩顆蘋果的概念...<br />那我就能接受使用微積分或其他數學解決這個悖論的方法.ns2a2002https://www.blogger.com/profile/06257922860147064085noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-77207613655330077182009-06-01T23:33:23.726+08:002009-06-01T23:33:23.726+08:00⊆∀⊥⊻ιN︰
@第二點就是我要證明的東西。在芝諾的模型底下, 所有的「可能的」 t_n 累計起來...⊆∀⊥⊻ιN︰<br /><br />@第二點就是我要證明的東西。在芝諾的模型底下, 所有的「可能的」 t_n 累計起來其和是等於 S, 而 S 有限值。這是什麼意思?意思是在芝諾的模型底下, 「時間」永遠不會達到 t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1)。那這又是什麼意思?意思就是我前面說的, 芝諾模型討論的範圍, 是「阿基里斯追上烏龜以前」的情況〈即 t < R*(V_A - V_T)^(-1), 而不是「阿基里斯追烏龜」。因為如果是「阿基里斯追烏龜」, 那 t 當然應該是開放的, 我們才能討論在哪個 t < ∞ 時, 阿基里斯會追到烏龜。芝諾現在限定了我們只能討論 t < R*(V_A - V_T)^(-1) 的情況, 也就是阿基里斯「還」沒有追到烏龜的情況, 那阿基里斯自然永遠追不到烏龜。<br /><br />囧我覺得你說的是對的...<br /><br />真謝謝你這麼詳細的說明,Good Job!朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-62144136575135147332009-06-01T21:18:30.385+08:002009-06-01T21:18:30.385+08:00一言以蔽之, 如果你要五秒才能追上烏龜。芝諾說的就是, 哈哈哈, 我賭你這五秒之內永遠追不上烏龜。一言以蔽之, 如果你要五秒才能追上烏龜。芝諾說的就是, 哈哈哈, 我賭你這五秒之內永遠追不上烏龜。Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16024397574707155126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-21515259342931087862009-06-01T21:03:21.955+08:002009-06-01T21:03:21.955+08:00我前面已經解釋過了, 芝諾的前提本來就在, 不是我加的, 只是他是 implicit 的, 所以不容...我前面已經解釋過了, 芝諾的前提本來就在, 不是我加的, 只是他是 implicit 的, 所以不容易察覺。我在這邊可以證明給你看。<br /><br />以下我們先定義一些符號:<br /><br />V_A: 阿基里斯的速度<br /><br />V_T: 烏龜的速度<br /><br />R: 烏龜一開始領先的距離<br /><br />t: 時間變數<br /><br />根據牛頓運動學〈這其實也不能算牛頓運動學, 因為在牛頓之前就有了〉<br /><br />阿基里斯跟烏龜達到同一個位置的方程式如下:<br /><br />V_A*t = V_T*t + R〈阿基里斯跑的距離, 等於烏龜跑的距離加上一開始的差距〉<br /><br />t = R*(V_A - V_T)^(-1)〈代數移項〉<br /><br />所以阿基里斯什麼時候會超過烏龜?<br /><br />當 V_A*t - ι = V_T*t + R<br /><br />t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1) 時<br /><br />其中 ι 任意正實數。<br /><br />現在我們再來看芝諾悖論在牛頓運動學框架下的等效表現:<br /><br />芝諾說, 當阿基里斯〈簡稱 A〉跑到烏龜〈簡稱 T〉本來的位置的時候, 這段時間 T 又往前移了一點, 而當 A 到 T 第二次測量時的位置時, T 又利用這段時間往前移了一點, 所以 A 永遠追不到 T。<br /><br />A 跟 T 的初始距離為 R, 假設 A 跑到 R 需要的時間為 t_1, 則<br /><br />t_1 = R/V_A<br /><br />T 利用了這段時間, 也就是 t_1 往前跑了一點, 所以他跑的距離為 V_T*t_1<br /><br />此時 A 和 T 的距離即為 V_T*t_1, 重覆前面, 則 t_2 = (V_T*t_1)/ V_A<br /><br />所以我們知道, t_1 = R/V_A, t_(n+1) = (V_T/V_A)t_n 〈乘法結合律〉 , 對於任何的 n 屬於自然數<br /><br />我們現在把這些時間全部加起來:<br /><br />S = Σ(n=1, ∞) t_n = t_1 + t_2 +... = t_1 + (V_T/V_A)t_1 + (V_T/V_A)^2 * t_1 + ...<br /><br />由於阿基里斯跑得比烏龜快, 所以 V_A > V_T, V_T/V_A < 1, 因此此幾何級數收斂至:<br /><br />S = t_1/[1 - (V_T/V_A)] = (R/V_A)/[1 - (V_T/V_A)] = R*(V_A - V_T)^(-1) 〈與我們之前牛頓力學算出來的結果一致〉<br /><br />但是必須注意的是, 我們這次的結果是用「無限」級數算出來的, 那是什麼意思呢?<br /><br />這邊有兩個很重要的關鍵:<br /><br />第一點, 只有當 n -> ∞, 我們的級數才會等於牛頓結果。其他當 n 等於有限值的的時候, 期時間和都小於牛頓結果〈這很明顯, 因為那樣我們就少加了很多〈無限〉次〉。那 n -> ∞, 又是什麼意思? 意思是, 在微積分/極限概念之前, 使用我們正常的人的小腦袋, 必須重覆芝諾的 argument 無限多次, 阿基里斯才會追上烏龜。而這是不可能的, 因為我們不可能想那麼多次。<br /><br />第二點就是我要證明的東西。在芝諾的模型底下, 所有的「可能的」 t_n 累計起來其和是等於 S, 而 S 有限值。這是什麼意思?意思是在芝諾的模型底下, 「時間」永遠不會達到 t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1)。那這又是什麼意思?意思就是我前面說的, 芝諾模型討論的範圍, 是「阿基里斯追上烏龜以前」的情況〈即 t < R*(V_A - V_T)^(-1), 而不是「阿基里斯追烏龜」。因為如果是「阿基里斯追烏龜」, 那 t 當然應該是開放的, 我們才能討論在哪個 t < ∞ 時, 阿基里斯會追到烏龜。芝諾現在限定了我們只能討論 t < R*(V_A - V_T)^(-1) 的情況, 也就是阿基里斯「還」沒有追到烏龜的情況, 那阿基里斯自然永遠追不到烏龜。<br /><br />所以會產生悖論的並不是牛頓力學, 我們一開始就用牛頓力學算出來什麼時候會追上了。會產生悖論的, 是加上芝諾限制條件以後的牛頓力學。而證明過程很明顯可以看出來, 芝諾悖論的 argument 的邏輯是一致的, 並沒有矛盾, 只是使用的範疇錯了。Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16024397574707155126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-77363898033170190592009-06-01T11:43:00.230+08:002009-06-01T11:43:00.230+08:00⊆∀⊥⊻ιN︰
@︰如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度和位移的關係了, 又...⊆∀⊥⊻ιN︰<br /><br />@︰如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度和位移的關係了, 又何必林茲再來提出一個小學生版的?<br /><br />因為牛頓力學會有烏龜悖論啊(給定牛頓力學,芝諾的推論會導致悖論)。<br /><br />@︰之所以會產生衝突, 是因為大家(包括芝諾)看待他這個模型的時候的前提錯了。芝諾的模型描述的並不是「阿基里斯追烏龜」, 而是「阿基里斯追到烏龜之前」。<br /><br />為什麼芝諾該有這個前提?你這樣做不算是擅自改動人家的模型嗎?而且這樣的改動可能是ad hoc的欸,因為,除了「這樣就不會有悖論」之外,你好像沒有提出好理由來說,為什麼他的前提是你說的這個而不是另外一個。朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-20716861245886015042009-06-01T07:55:39.666+08:002009-06-01T07:55:39.666+08:00你的說法跟我對這個問題的理解似乎不太一樣。如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度...你的說法跟我對這個問題的理解似乎不太一樣。如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度和位移的關係了, 又何必林茲再來提出一個小學生版的?<br /><br />任何人都知道阿基里斯跑的比烏龜快(因此可以追到烏龜), 芝諾當然也知道。芝諾悖論真正的意義就在於他的理論明明在邏輯上是正確的, 卻推出了似乎跟事實不符的結果(追不到烏龜)。<br /><br />因此, 所謂解決這個悖論, 就要提出解釋為什麼會產生悖論, 產生矛盾, 而不是提出另外一個模型說, 你看我的模型有搞頭, 跟真實世界是一樣的, 因此我的是對的, 芝諾的是錯的。<br /><br />我想說的就是, 芝諾的模型沒有錯, 阿基里斯會追到烏龜也沒有錯, 之所以會產生衝突, 是因為大家(包括芝諾)看待他這個模型的時候的前提錯了。芝諾的模型描述的並不是「阿基里斯追烏龜」, 而是「阿基里斯追到烏龜之前」。<br /><br />而我認為提出這一點, 才能稱作是解決了悖論。Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16024397574707155126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-33056650576731047052009-05-26T01:43:03.030+08:002009-05-26T01:43:03.030+08:00⊆∀⊥⊻ιN︰
我想那並不會是林茲的缺點,因為對於任何的符號系統,我們都只能藉由拿掉條件或者更換定...⊆∀⊥⊻ιN︰<br /><br />我想那並不會是林茲的缺點,因為對於任何的符號系統,我們都只能藉由拿掉條件或者更換定義來改變邏輯結果,然而這不見得就是在打稻草人,因為林茲宣稱的不是「在烏龜悖論的時空模型之下,阿基里斯可以追到烏龜」,而是「烏龜悖論的時空模型是錯的(不符合事實),我的模型是對的,在我的模型之下,阿基里斯可以追到烏龜」朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-78392272165388516132009-05-25T21:53:36.353+08:002009-05-25T21:53:36.353+08:00這篇我好久以前就看到, 但一直看不懂, 今天終於看懂了(大概)。
我認為這個想法是錯的。或許也不能...這篇我好久以前就看到, 但一直看不懂, 今天終於看懂了(大概)。<br /><br />我認為這個想法是錯的。或許也不能說他是錯的, 應該說他沒騷到癢處。<br /><br />林茲以為當我們說 Tn 的時候我們是在討論一個時間區間 Tn, 這前面 nidor 已經說了, 這是錯的。我們說的就是 Tn 那個零維的時間點, 不是別的。這很明顯也芝諾所使用的時間定義, 也因此才有「某時間」的時候人或烏龜的「位置」。如果 Tn 是一個區間, 那就 Tn 時某物的「位置」就沒有意義, 因為每個時間點的位置都不同, 因此「位置」這個概念就沒有被 well-defined。<br /><br />不過這只是小毛病, 真正的問題在於他沒有打到芝諾悖論的要害。芝諾悖論之所以會讓人追不到烏龜, 是因為他一開始就假設追不到。他的論述是人龜各自的位移為基礎, 把時間當成是位移的函數。他的烏龜都在人前面, 而時間祇是用來補上這段位移而已。也就是說, 芝諾的所有論述都在人沒有追到烏龜的那段時間裡面, 因此自然追不到。如果用林茲的語言來看的話, 就是芝諾的每個 Tn 都不一樣大, 人越接近烏龜的時候, Tn 就越小, 所以不可能存在一個 n 使得 P_n+1 - P_n 小於 Tn 內他們所接近的距離。因為按照芝諾的悖論, 這時候的 Tn 會變得很小, 使得他們再這段時間內接近的距離不足以超過 P_n+1 - P_n。<br /><br />簡單的說, 芝諾的 Tn 是一個滿足「追不到」這個條件的變數, 所以不管 Tn 如何增加, 都追不到〈級數收斂〉。而林茲的 Tn 大小是定值, 所以當這個定值累加到一定程度〈級數發散〉之後, 自然會追過〈廢話, 人本來就會追過烏龜〉。既然他們使用的模型不同, 那根本就不是在講同一件事...<br /><br />一言以蔽之, 林茲在打稻草人...Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/16024397574707155126noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-45026100129422832022009-05-25T09:27:23.678+08:002009-05-25T09:27:23.678+08:00PikaRen:
我也這樣覺得 :)PikaRen:<br /><br />我也這樣覺得 :)朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-49587307652458297222009-05-23T13:16:19.608+08:002009-05-23T13:16:19.608+08:00這個想法非常有創意這個想法非常有創意PikaRennoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-67660472836590282612009-01-11T08:02:00.000+08:002009-01-11T08:02:00.000+08:00早安,billy︰我了解你的意思了,這是個好建議。以後在處理類似的問題的時候,我會注意記得介紹那些比...早安,billy︰<BR/><BR/>我了解你的意思了,這是個好建議。<BR/><BR/>以後在處理類似的問題的時候,我會注意記得介紹那些比較簡單的解法。朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-69879719275178454952009-01-10T21:13:00.000+08:002009-01-10T21:13:00.000+08:00我覺得我的說法可以在不用動用"真正"微積分的情況下用數學解決這個題目,讓沒學過微積分的人比較能理解。...我覺得我的說法可以在不用動用"真正"微積分的情況下用數學解決這個題目,讓沒學過微積分的人比較能理解。<BR/><BR/>現在科學教育不能普及的最大原因就是因為科學家或數學家們用的語言實在太艱澀,讓社會大眾根本不知道他們在講什麼,進而就對自然科學敬而遠之。<BR/><BR/>上面白鹿大跟nidor大的爭辯固然很令人激賞,也讓我受益良多。不過站在科學普及的立場,我希望能有一個較符合大眾程度的方式來說明。Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-3189072179853729682009-01-10T10:19:00.000+08:002009-01-10T10:19:00.000+08:00哈囉,billy︰我猜你的說法跟微積分的解法一樣,不過我也不知道為什麼就算不懂微積分也可以理解這種解...哈囉,billy︰<BR/><BR/>我猜你的說法跟微積分的解法一樣,不過我也不知道為什麼就算不懂微積分也可以理解這種解決方法。<BR/><BR/><BR/>我想,「解法a比較簡單,所以我們不需要其它的解法b、c或d」這種想法在某種意義上不恰當。<BR/><BR/>雖然只要挑出一個錯誤就可以打跨一個論證,但一個論證可能不只有一個錯誤。任何一個多餘的解法,只要是對的,都有助於我們從其它方面理解這個論證的錯誤,以及理解在該方面的那些相關的事實。朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-41703867360660886702009-01-09T17:02:00.000+08:002009-01-09T17:02:00.000+08:00我覺得上面的爭辯都太深奧了,其實不用會微積分也能用數學的角度來想這題,更不用搬出空間或時間到底連不連...我覺得上面的爭辯都太深奧了,其實不用會微積分也能用數學的角度來想這題,更不用搬出空間或時間到底連不連續這種常人無法思考的問題來解決此題。<BR/><BR/>有問題的敘述是第二項中:所謂所需的一點時間究竟是什麼?<BR/><BR/>根據常理我們可以推斷:ΔTn=Tn-Tn-1是遞減的,我們把這個看似無窮多個的ΔTn加起來的結果到底是什麼呢?很明顯的不會加到無窮大到去,所以阿基裡斯可以在有限的時間內追得到烏龜。<BR/><BR/>其實芝諾的說法只是把有限的時間做無限的分割而已,只要稍微學過高中的數列與級數的概念,都能思考這個問題的。Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-13313127182296257172008-10-29T19:00:00.000+08:002008-10-29T19:00:00.000+08:00嗨,原意應該是這樣︰Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-...嗨,<BR/><BR/>原意應該是這樣︰<BR/><BR/>Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;<BR/><BR/>Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間,所以烏龜會在Pn+1朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-9798948808718591862008-10-28T13:30:00.000+08:002008-10-28T13:30:00.000+08:00是你這個有筆誤還是我看錯了,應該是這樣看吧?「Tn-1時,阿基裡斯在Pn-1」「烏龜在Pn;Tn時,...是你這個有筆誤還是我看錯了,應該是這樣看吧?<BR/>「Tn-1時,阿基裡斯在Pn-1」<BR/>「烏龜在Pn;Tn時,阿基裡斯在Pn」<BR/>應該是Pn-1吧?<BR/><BR/><BR/>從何得出「阿基裡斯跑得比較快」?<BR/><BR/><BR/>經過刪刪減減之後才發現,我把之前的論調全部刪掉了……BBboxhttps://www.blogger.com/profile/17888826492965693562noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-56341600839617305172008-09-14T15:17:00.000+08:002008-09-14T15:17:00.000+08:00nidor︰原來如此。nidor︰<BR/><BR/>原來如此。朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-76320147437346061022008-09-14T15:11:00.000+08:002008-09-14T15:11:00.000+08:00所以我說他的說法嚴格說起來不算錯,只是在數學上很粗糙啊.... 大概就像用湯匙轉螺絲,用羅賴把吃飯這...所以我說他的說法嚴格說起來不算錯,只是在數學上很粗糙啊.... 大概就像用湯匙轉螺絲,用羅賴把吃飯這樣,勉強算可以用,但是不是個好的解決辦法。黃泥多https://www.blogger.com/profile/10671523690316189764noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-90978322386412456922008-09-14T12:24:00.000+08:002008-09-14T12:24:00.000+08:00nidor︰原來如此。那麼,如果林茲採取和時空的連續性相容的立場,牛頓物理可以藉由時空的連續性的假設...nidor︰<BR/><BR/>原來如此。那麼,如果林茲採取和時空的連續性相容的立場,牛頓物理可以藉由時空的連續性的假設而做到的那些事情,林茲的理論也能做得到,不是嗎?朱家安https://www.blogger.com/profile/08805839838132417271noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-4450806858834993942008-09-14T12:17:00.000+08:002008-09-14T12:17:00.000+08:00林茲的理論並沒有討論他的立論基礎上,時空是否連續,可能是非連續的(每個時間間距中,位置是跳躍的瞬間移...林茲的理論並沒有討論他的立論基礎上,時空是否連續,可能是非連續的(每個時間間距中,位置是跳躍的瞬間移動)也可能是連續的。如果他的論證對"每一個"時間間距都有效,也就是不管切到多細仍然有效,那其實就隱含了連續的概念。連續性的函數如果不用極限去運算就太笨了。黃泥多https://www.blogger.com/profile/10671523690316189764noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5143276828446077324.post-4713988687212146732008-09-14T00:42:00.000+08:002008-09-14T00:42:00.000+08:00你沒有誤解我。問題在於要怎麼解釋「在這五分鐘內,我去郵局劃撥,又到企銀辦甲存」的意義。最直覺的作法是...你沒有誤解我。問題在於要怎麼解釋「在這五分鐘內,我去郵局劃撥,又到企銀辦甲存」的意義。最直覺的作法是用先後這樣的概念,我"先"去郵局"後"去企銀,但這種解釋似乎很難不說是暗示"這五分鐘"其實可以拆成至少兩個時段,而這是你在說明為什麼Achilles可以追的上烏龜時不想要的。你大概不想說,在Tn的時候,Achilles"先"在Pn,"後"在Pn+1,追到了烏龜,因為那會聽起來像Tn裡還可以分出至少兩個時段,再後一個時段Achilles才追到了烏龜;可是為什麼烏龜在後一個時段裡沒有也向前進到了Pn+2呢?Anonymousnoreply@blogger.com