符號和邏輯

考考你，下面這個邏輯論證是否有效：

前提：
∃x（Px→Qx）
Pa

結論：
Qa

這個問題對於一些人來說很簡單，但有一些人可能答不出來，他們會這樣抱怨：「什麼啊...怎樣才算『有效』？『∃x』是什麼意思？『→』又是幹嘛的？」。然而，就算這些人答不出上面的問題，也不代表他們的邏輯能力有任何問題，只代表他們不懂那些邏輯符號的意思。不懂邏輯符號的意思沒什麼大不了的，邏輯符號的功能是用來輔助思考，以及和邏輯學家溝通。如果你沒有落得必須跟邏輯學家討論邏輯的境地，而且不用邏輯符號也不會在日常生活中犯邏輯錯誤，你就不需要學習邏輯符號的意思。如果有人因為你不懂那些邏輯符號的意思而笑你邏輯不好，這只表示他沒有搞懂（關於邏輯符號的）語言能力，以及邏輯能力之間的差別，在這種情況下，邏輯不好的人是他自己。

然而，在最近流行的數學難題新聞裡，就有一些邏輯不好的人犯下上面那種錯誤。6÷2(1+2)到底等於哪個數字？有人說要先算括號，所以它等於1；有些人認為要從左邊開始算，所以它等於9。最後，有一些人覺得這真是太糟了：連這麼簡單的題目都有這麼多人算錯，這表示我們的數學教育失敗。

根據上面關於邏輯符號的討論，你應該猜得到我會講什麼：這是（關於數學符號的）語言問題，跟數學能力一點關係也沒有。要是你不相信，可以叫1的支持者和9的支持者算算下面這兩個題目，看他們表現如何：

a. 有兩個小隊，每隊裡面都有一個男生和兩個女生。六個保險套讓這兩個小隊的隊員們均分，每人可以分到幾個？

b. 大雄有六個蘋果，被迫分了其中一半給胖虎。如果對於大雄擁有的每個蘋果，小夫都願意用一顆藍色避孕藥跟兩顆紅色避孕藥來換，就目前而言，大雄最多可以換到幾顆避孕藥？

當然，1的支持者會說，「6÷2(1+2)」就是用來表示（a）這個題目背後的算數；9的支持者會說，「6÷2(1+2)」就是用來表示（b）這個題目背後的算數。然而，我相信，就算你是1的支持者，這並不代表你比較容易在（b）上出錯；就算你是9的支持者，也不代表你比較容易在（a）上出錯。同樣的算術，用沒有歧義的國語表示的時候沒有問題，用數學符號寫出來的時候就有問題，這顯示這裡只有語言能力的問題，沒有數學能力的問題。

當然，依據大家對於同一個數學式有不同解讀的這個現象，你可以怪罪國中小的數學教育沒有把關於數學的語言能力教好。然而，如果就連數學學者自己也對同一個算式有不同理解（我不知道是不是這樣），就表示這並不是老百姓受到的教育的問題，而是專業的數學圈內對於那個題目包含的符號意義沒有共識，或者根本就是那個題目沒有寫完整。