5.08.2011

符號和邏輯

考考你,下面這個邏輯論證是否有效:
前提:
∃x(Px→Qx)
Pa

結論:
Qa
這個問題對於一些人來說很簡單,但有一些人可能答不出來,他們會這樣抱怨:「什麼啊...怎樣才算『有效』?『∃x』是什麼意思?『→』又是幹嘛的?」。然而,就算這些人答不出上面的問題,也不代表他們的邏輯能力有任何問題,只代表他們不懂那些邏輯符號的意思。不懂邏輯符號的意思沒什麼大不了的,邏輯符號的功能是用來輔助思考,以及和邏輯學家溝通。如果你沒有落得必須跟邏輯學家討論邏輯的境地,而且不用邏輯符號也不會在日常生活中犯邏輯錯誤,你就不需要學習邏輯符號的意思。如果有人因為你不懂那些邏輯符號的意思而笑你邏輯不好,這只表示他沒有搞懂(關於邏輯符號的)語言能力,以及邏輯能力之間的差別,在這種情況下,邏輯不好的人是他自己。

然而,在最近流行的數學難題新聞裡,就有一些邏輯不好的人犯下上面那種錯誤。6÷2(1+2)到底等於哪個數字?有人說要先算括號,所以它等於1;有些人認為要從左邊開始算,所以它等於9。最後,有一些人覺得這真是太糟了:連這麼簡單的題目都有這麼多人算錯,這表示我們的數學教育失敗。

根據上面關於邏輯符號的討論,你應該猜得到我會講什麼:這是(關於數學符號的)語言問題,跟數學能力一點關係也沒有。要是你不相信,可以叫1的支持者和9的支持者算算下面這兩個題目,看他們表現如何:
a. 有兩個小隊,每隊裡面都有一個男生和兩個女生。六個保險套讓這兩個小隊的隊員們均分,每人可以分到幾個?

b. 大雄有六個蘋果,被迫分了其中一半給胖虎。如果對於大雄擁有的每個蘋果,小夫都願意用一顆藍色避孕藥跟兩顆紅色避孕藥來換,就目前而言,大雄最多可以換到幾顆避孕藥?
當然,1的支持者會說,「6÷2(1+2)」就是用來表示(a)這個題目背後的算數;9的支持者會說,「6÷2(1+2)」就是用來表示(b)這個題目背後的算數。然而,我相信,就算你是1的支持者,這並不代表你比較容易在(b)上出錯;就算你是9的支持者,也不代表你比較容易在(a)上出錯。同樣的算術,用沒有歧義的國語表示的時候沒有問題,用數學符號寫出來的時候就有問題,這顯示這裡只有語言能力的問題,沒有數學能力的問題。

當然,依據大家對於同一個數學式有不同解讀的這個現象,你可以怪罪國中小的數學教育沒有把關於數學的語言能力教好。然而,如果就連數學學者自己也對同一個算式有不同理解(我不知道是不是這樣),就表示這並不是老百姓受到的教育的問題,而是專業的數學圈內對於那個題目包含的符號意義沒有共識,或者根本就是那個題目沒有寫完整。

10 comments:

  1. 6÷2(1+2)代表的是6÷2x(1+2),因為乘號可以省略。計算結果是1的人實際上是在計算6÷(2x(1+2))=6÷2÷(1+2)=1。

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  2. 另外,這裡的數學能力不好,或許指的是「運用數學符號表達數學概念」的能力不好,不應該被嚴格限定為「數學概念」不好。

    在數學符號的解讀上本來就不應該存有歧異,如果不同人對同一條數學式的解讀不相同,那麼數學符號就失去了她作為一個通用、有效率地溝通媒介的意義。我想邏輯符號在這方面也是一樣,畢竟在數學符號系統中也有許多邏輯符號。

    而教導學生了解數學符號統一的解讀方式是我們數學教育中很重要的一部分,而且很早就開始了,所以當有人說我們的「數學教育失敗」時或許並不是那麼沒有道理。

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  3. 除了「列出算式以後,能否算出答案、能多快算出答案」以外,「數學能力」是否蘊含「解讀數學式」的「語言能力」,你認為否,但應該有人認為是。

    當一個人不能將你舉的a.b.二個例子轉成數學式時,同樣可能有人認為這是「國文能力」不夠,而不是「數學能力」不夠。

    「數學能力」究竟包含哪些面向,大家的看法可能不會完全相同。

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  4. 其實跟語言也沒有太大關係,而是這種數學表示方式沒有一個既定標準說該以什麼方是去看待。基本上如果這種數學符號沒有被標準化,也沒有很明確的傳統說該以什麼方式解讀,要不就是把它明定出來,要不就避免使用。總而言之,我認為這是嚴謹度的問題。如果這種表達方式容許兩種詮釋,則答1和答9的人數多寡,只顯示了它各有多少機率被以該種方式解讀,與對錯無關。

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  5. 我在那題作弊用了計算機得到1XD

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  6. 此提示省略符號了吧....
    聽數學系說的:p
    少了一個乘號→6÷2x(1+2)
    在純數字運算的情況下,好像不可以省略喔
    所以才會造成爭議

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  7. 這個表記法的確存在爭議,在 PTT 的 math 版有很多討論。

    2√2 的意思是 2*√2,但 6÷2√2 視為 6 ÷ [2*√2] 而非 6÷2*√2
    2 1/2 的意思是 2 + 1/2,但 6÷2 1/2 視為 6 ÷ [1+1/2] 而非 6÷1+1/2(2 1/2請自行腦補成帶分數「2又2分之1」)

    以前國中教材確實是說 a×b 可寫成 a‧b 或 ab,不過就如前面幾個例子,代數習慣上 ab 就是視為一體的 [a*b],教材說 ab 是 a×b 的簡化可能有待商榷。

    而計算機是人設計的,設計者當初可能沒考慮過這種情況;換句話說,計算機的計算結果可能是錯的,不能作數。更別說不同機型的計算機會得到不同結果的事實。

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  8. 各位好;我上次問過蘊含的定義的問題,但遲遲沒有得到版主解答。我再重貼一遍,希望雞蛋糕大叔撥冗解決這個困擾我多年的問題!

    "p蘊含q"除了p真q假時為假,其他三種情況(p真q真,p假q假,p假q真)時皆真。為什麼p假q真時可以說p蘊含q?蘊含的意義為何?和"導致"有差別嗎?若是,難道這代表假命題可以導致真命題嗎?這是不是"蘊含"這個字在哲學家的用法和一般人用法不同的例子?還是我的認知有誤?

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  9. Wawa:

    http://phiphicake.blogspot.com/2011/04/blog-post.html
    我同意其他人給你的說明。

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  10. 我想8樓的Wawa想知道的應該是語言用法的問題,
    所以我說一下我對這個詞的看法。暫時撇開複雜的邏輯問題。
    蘊含在字典裡是蘊藏包含的意思,通常這裡是用作包含的意思。
    而 "包含" 跟 "等同" 是不一樣的,跟 "導致"也是不一樣的。
    若要說的話蘊含可能跟"被導致" 比較接近吧!(看情況)
    以集合來說的話p蘊含q可以說是q屬於p,所以在q外而在p內的事件也可能是存在的。

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