四個不合直覺的推論

我想應該有些人客會喜歡，去挑戰看看吧，在這裡。

邏輯語句檢驗機、邏輯題目產生器

之前有人問我如果想練習做邏輯證明，要去哪裡找題目。Joe介紹了一個網頁，除了做不完的邏輯題，還有很多其它有用功能。

實驗邏輯（experimental logic）

實驗邏輯（experimental logic）是沿用實驗哲學（experimental philosophy）方法的邏輯哲學研究。簡單地說，這個領域裡的邏輯哲學家們把他們的大屁股從沙發裡拔出來，走進人群，藉由實證的量化的方法取得證據，然後用這樣資料來佐證或推翻哲學主張。
這篇文章提到了最近的一個實驗邏輯研究，研究者調查人們對於邏輯矛盾的直覺，發現其實很多人認為某些在古典邏輯之下會構成矛盾的句子是make sense的，例如

The circle is near the square, and it isn't near the square.

這顯示，人們認為「is near」和「is not near」這兩個述詞並不完全互斥，而是存在著一些重疊的灰色地帶，使得人們可以合法地使用它們來描述兩個東西之間的同一個關係的同一個面相。
我相信那些完全不接受邏輯矛盾的人對這個結果會有一些毛病可以挑。例如說︰

論證Q
這個研究的受訪者真的是把「is near」和「is not near」裡面的「near」當成同一個概念來理解，並且把「not」當成概念的反面的標示詞嗎？如果是的話，實在很難想像他們如何能在不犯錯的情況下認為P是一個make sense的句子；如果不是的話，那麼P事實上在那個脈絡底下根本無法表達任何會在古典邏輯底下導出矛盾的式子，更罔論作為大眾接受邏輯矛盾的實例了。因此，根據這樣的反駁，即使填寫問卷的民眾這沒有犯任何錯，個問卷結果也無法顯示民眾真的接受嚴格意義下的邏輯矛盾︰他們接受的不是邏輯矛盾，而是一個就字面而言會被邏輯學家形式化成邏輯矛盾的句子，而他們並不使用和邏輯學家一樣的方法來理解這個句子。

然而，如果我們堅持這樣挑毛病，邏輯上的「P and not P」似乎就直接了當地根據定義成為不可能被接受的句子了，完全沒有討論空間，也沒有餘地讓實驗哲學家藉由蒐集人們使用概念的直覺來建構異例。
值得注意的是，論證Q攻擊的是研究方法而非結果︰如果這個論證是有效的，不管我們藉由問卷得到什麼樣的結果，這個論證都可以有效地用來攻擊它們。換句話說，如果論證Q有效，我們早在做邏輯問卷實驗之前，就已經可以知道這樣的實驗在「民眾是否會接受嚴格意義下的邏輯矛盾？」這個問題的爭論上插不上腳。這代表（至少，這個例子中使用的）實驗邏輯研究方法沒有用、註定不可能達成哲學家期許的結果嗎？
我不覺得實驗邏輯作為一種研究方法沒有用、註定不可能達成哲學家期許的結果。我相信論證Q是錯的，它誤解了實驗邏輯學家企圖利用這個例子裡的問卷結果來宣稱的結論。不過，在說明自己的診斷以前，我想聽聽大家的想法。

邏輯規則與藝術討論

「如果排中律是正確的邏輯規律，為什麼『這幅畫很美』可以在藝術討論的場合中合理地既為真又為假？」

「因為邏輯只能被用來討論有明確意義的命題」

這樣的回答不算錯誤，然而，它可能會讓一些對邏輯規則的意義和「討論」這件事本身沒有做過夠深的思考和理解的人形成這樣的誤會︰

重視邏輯的人主張感受性的問題（那些關於人們對藝術品的感受和評價的問題）沒有辦法被討論，是因為感受性的語句的真假值無法被邏輯理性判斷。然而，為什麼我們能知道宇宙的另一邊有個黑洞，卻對掛在眼前的簡單事實無法判斷？這似乎隱含我們需要一套非邏輯的方法來討論感受性問題？

．．．

邏輯不能告訴我們哪些句子是真的（除非這些句子是必然真理，例如「如果張三是單身漢，那麼張三是單身漢」），邏輯只能告訴我們，在用字的意義清楚的情況下，哪些句子可以從哪些句子推導出來（「所有的狗都有鬍子」「有一些狗有鬍子」），哪些句子和哪些句子不可能同時為真（「2008年全世界最高的人是小夫」「2008年全世界最高的人是小夫的同學胖虎」），哪些句子和哪些句子不可能同時為假（「多拉a夢有尾巴」「多拉a夢沒有尾巴或者大雄沒有尾巴」），哪些句子和哪些句子的真假值一定相同（「大雄是單身漢」「大雄是男的，而且沒老婆」），哪些句子和哪些句子的真假值一定不同（「靜香嫁了大雄」「靜香沒嫁大雄」）。

邏輯可以告訴我們「桌上有紅蘋果」蘊含「至少有一個紅蘋果」、「桌上有紅蘋果」和「桌上沒有紅蘋果」的真假值一定不同、「桌上有紅蘋果」和「桌上有顆紅色的蘋果」的真假值一定相同，但是邏輯不能告訴我們桌上到底有沒有紅蘋果。要知道桌上有紅蘋果、窗外在下雨、有個黑洞在哪裡哪裡的，除了邏輯，還得依靠感官和科學方法。

因此，即使我們不能在客觀意義下宣稱「這幅畫很美」，使我們不能在客觀意義下宣稱「這幅畫很美」的也不是邏輯，而是我們找不到那些使得「這幅畫很美」在客觀意義下為真的條件（「張三是單身漢」在客觀意義下為真的條件就是張三是男人而且沒老婆），或者找不到那些能夠可靠地觀察到這些條件的方法。

反過來說，如果我是那種相信美是客觀存在的性質的人，例如柏拉圖主義者，我就可以主張「『拾穗』是美的」這句話的確有客觀的真假值。在這樣的情況之下，（至少我相信）「『拾穗』是美的」便能夠表達命題，也能使用邏輯來進行演算，並且會符合邏輯定律規範。

但是，即使我們假定「『拾穗』是美的」這句話的確有客觀的真假值，這樣的假定對於愛畫人士之間的討論有沒有幫助，就不一定了。因為，即使它的確有客觀真假值，根據現況，這樣的客觀真假值依然難以被感官或者科學驗證，因為大家對於一幅畫美不美所作的判斷不一定一樣（相較之下，只要語意清楚，每個視覺正常的人對桌上有沒有蘋果的判斷都會一樣）。在這樣的情況下，我不知道假定那樣的客觀性存在對討論有什麼幫助，因為沒有人知道自己的判斷是不是事實（我相信在這樣的情況下，大家會對每個人的美感直覺可不可靠這件事做出判斷，例如認為說，比起我本人，蔣勳的直覺可能比較正確之類的，不過這類的事情在不假定美感判斷的客觀性的情況下一樣會發生，即使大家都相信「『拾穗』是美的」這句話沒有客觀的真假值，他們也很有可能喜歡蔣勳的品味勝過我）。假定桌上有沒有蘋果這件事具有客觀性對於討論有幫助，因為桌上有沒有蘋果隨時可以驗證，如果有人做的判斷和事實不同，我們可以說他錯了。因此，假定桌上有沒有蘋果這件事具有客觀性對於討論有幫助，因為它可以避免我們做出錯誤的判斷。事實上，如果我們不假定桌上有沒有蘋果這件事具有客觀性，我們根本無法在這個議題上做出有意義的討論。但是同樣的優勢和必要性在美感討論裡存不存在，我持負面立場。

再說，比起「客觀的美感事實不存在」這個假說，我認為要青睞「客觀的美感事實存在」是需要好理由的。畢竟，說不定美感判斷本來就只是在表達自己的情緒和態度（喜歡、討厭、讚賞、鄙棄等等），而非表達客觀事實。為什麼我們能夠判斷宇宙的另一端有黑洞，但是卻會對眼前存在的簡單事實無法判斷？最簡單的回答就是，因為眼前本來就不存在簡單事實，或者雖然它存在，但是沒有人能知道自己對它做出的判斷正不正確。

（這裡可以補充一下，就算美感判斷只是用來表達說話者的情緒和態度，這樣的判斷其實也可以被描述客觀事實的語句所捕捉，例如當kris說了「『拾穗』好美」，雖然他說的話只是在表達他的情緒和態度所以沒有客觀真假值，但是「kris覺得『拾穗』很美」是會有客觀真假值的）

基本上我認為感受性的問題沒有辦法被討論跟邏輯無關，也跟那些表達感受性的句子有沒有客觀真假值沒有直接關係。我覺得感受性的問題難以討論，是因為每個人的美感經驗無法跟別人分享。我看到一幅畫覺得它的某些地方很美，但是我沒辦法把這樣的感覺讓別人知道，最多我只能樂觀地盡力地使用譬喻隱喻之類的方式，看看對方能不能接收到。事實上，要相信這樣的溝通能夠像聽懂「看，桌上有蘋果」一樣地成功，是需要一些神秘主義基礎的。不過，雖然沒有辦法直接跟對方分享我的美感經驗，但是我還是可以用一些方法和對方討論畫，例如我可以說「我喜歡這邊這邊的線條」（就算我可能無法說明我是「如何」喜歡）或者「我覺得這個地方的比例搭配得很好」（就算我可能無法說明這搭配是「如何」地好）甚至「我想如果這裡的色調再柔和一些會更棒」（就算我可能無法明確地說明這裡的「柔和」的意思），我想這也是觀賞畫的人在美感上常做的討論內容。

古典命題邏輯規則

Rough Explanation of Symbol︰

P∧Q︰P and Q P→Q︰if P then Q P≡Q︰（P→Q）∧（Q→P）

P∨Q︰P or Q ¬P︰not P

 Rules for Sentential Logic︰

MP （modus ponens、肯定前件）   P→Q   P           Q   MT （modus tollens、否定後件）   P→Q     ¬Q          ¬P   Conj （conjunction、連言）   P     Q           P∧Q （剩下的懶得整理了，需要時再加吧）

CP （conditional proof、條件證明）   P 〔假設〕 ︰ ︰   Q            P→Q IP （indirect proof、歸謬法）   P 〔假設〕 ︰ ︰   Q∧¬Q      ¬P

邏輯的單調性和Defeasible Reasoning

單調性（monotonicity）是邏輯系統的性質。形式上，它可以被表達成這樣︰

If Γ ⊢ φ and Γ ⊆ Δ then Δ ⊢ φ.

根據這個定義，一個邏輯系統是單調的（monotonic），若且唯若如果我們可以由這個系統的規則或公理從一組句子Γ推導出句子φ，那麼，對於任何一組句子Δ，只要Δ包含所有Γ所包含的句子（也就是說，Γ是Δ的子集合），我們就可以用這個系統的規則或公理，從Δ推導出句子φ。簡單地說，只要我們所使用的邏輯系統是monotonic，那麼，我們原來可以推導出來的那些句子，在前提增加之後，就會依然可以被推導出來。

古典邏輯是monotonic，這意味著前提的增加並不會使得本來可以被推導出來的句子因此無法被推導出來。考慮下面兩個論證︰

論證a
1. P→Q
2. P
3. Q〔1,2，MP〕

論證b
1. P→Q
2. P
3. ¬（P→Q）
4. ¬P
5. Q〔1,2，MP〕

論證a的有效結論「Q」在論證b裡並不會因為增加了兩個前提就因此而推導不出來。事實上，不管增加什麼其它的前提，只要我們有（P→Q）和P，就一定可以利用古典邏輯推導出Q。

好吧，你說，所以古典邏輯是邏輯系統是monotonic，在古典邏輯系統下，原來可以導出的句子在前提增加後也一定可以導出來，所以勒？那又怎樣？

有一些哲學家相信monotonicity是古典邏輯的短處。邏輯系統被造出來的目的，是為了要捕捉人們做推理時所依賴的規則。因此，最理想的狀況是，我們有一個邏輯系統，任何日常生活上ok的推論在這個系統裡都是ok的；日常生活中不ok的推論在這個系統裡也都是不ok的。而問題就在於，有很多日常生活中的推論，似乎沒有辦法被一個monotonic logic system捕捉，例如

論證c
1. 鳥會飛
2. 小丸是鳥
3. 小丸會飛

論證d
1. 鳥會飛
2. 小丸是鳥
3. 小丸的羽毛掉光了
4. 小丸會飛

論證c很ok，但是論證d不ok，然而，所有論證c擁有的前提，論證d也都擁有，也就是說，在一個monotonic logic system裡，如果論證c是有效論證，論證d也會是有效論證。同樣地，下面這組論證也含有如此的特徵︰

論證e
1. 我答應小丸晚上陪她吃飯
2. 我應該準時赴約

論證f
1. 我答應小丸晚上陪她吃飯
2. 晚上我出門時遇見了車禍，肇事者逃逸，傷者血流如注，附近沒有電話
3. 我應該準時赴約

這類「一旦前提增加，本來的有效結論可能會變得無效」的推論，被稱為Defeasible Reasoning（可誤的推論）。這些Defeasible Reasonins的存在，使得哲學家開始注意起monotonic system在這個方面的不足，並試著探索non-monotonic system的可能性。



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McGee對肯定前件提出的反例

肯定前件（modus ponens，或者MP）是古典邏輯裡最基本的原則之一︰

P→Q
P
-------
Q

根據MP，如果P和（P→Q）都為真，Q就會為真。MP捕捉的是關於日常語言中的條件句的推論直覺︰對於任何一個條件句「若P則Q」而言，如果前件（P）為真，後件（Q）也一定會為真︰假設「如果小吉被當掉，那麼小吉媽痛扁小吉」且假設「小吉被當掉」，可以導出「小吉媽痛扁小吉」。

Van McGee提出了一個MP的反例（McGee 1985），其基本的想法是這樣的︰

市長被發現陳屍官邸，警探張前往調查。警探張發現，案發當時可能的嫌疑犯有三個人，分別是屬於官邸內務人員的管家，以及屬於官邸外勤人員的司機和園丁。當下，雖然不曉得對案情有沒幫助，警探張做了這樣一個中肯的推論︰

P1.如果是外勤人員殺了市長，那麼，如果司機沒有殺市長，殺了市長的就是園丁。

隨後，經過了一番現場勘查，警探張掌握了一些有力證據，而這些證據都指向司機就是兇手。假設這些證據非常強，我們可以做出這樣的宣稱︰

P2.司機殺了市長。

而因為司機是外勤人員，所以P2蘊含P3︰

P3.外勤人員殺了市長。

而P3正好是P1的前件，於是，根據MP規則，我們可以導出P4︰

P4.如果司機沒有殺市長，殺了市長的就是園丁。

McGee以及大部分哲學家都認為這個結論是荒謬的，因為嫌疑犯有三人，為什麼警探張可以在僅僅掌握了司機的犯案證據後，就推論出「如果司機沒有殺市長，殺了市長的就是園丁」？畢竟，即使司機真的沒殺市長，殺了市長的也有可能不是園丁而是管家。

這個論證看起來像是個健全論證，如果這個論證的結論是荒謬的，與理性不合的，我們似乎只能接受這樣的結果︰即這個論證唯一用到的那個邏輯規則，MP，是不夠好的規則，它無法恰當捕捉我們日常生活中的推論方法與直覺。

然而，大部分哲學家並不認為這個反例真的對MP使用的合法性構成威脅，他們傾向於相信這個反例本身有問題，雖然至今似乎沒有人給出明確診斷。

kiki在德州大學的指導教授Nicholas Asher曾經對這個問題作過有啟發性的分析，他認為這個反例裡的論證可以被改寫成這樣︰

R1.如果是外勤人員殺了市長，那麼，如果他不是司機，他是園丁。
R2.司機殺了市長。
R3.外勤人員殺了市長。
R4.如果他不是司機，他是園丁。

這個改寫可能指出了一個重要的線索︰在R4裡，「他」到底是指哪個人啊？如果把前面的推論（R1～R3）擦去，R4就變成一個不知所云的句子。這似乎顯示出，在某種意義下，R4沒辦法在脫離整個論證的脈絡下被理解，然而，這樣的講法是模糊而無法讓哲學家滿意的︰怎樣才算是脫離整個論證的脈絡？這裡的「被理解」是指什麼？哪些句子沒辦法在脫離整個論證的脈絡下被理解？是什麼原因使得這些句子沒辦法在脫離整個論證的脈絡下被理解？對於那些想搞清楚McGee的反例為什麼看起來這麼奇怪的人來說，如果他們想要嘗試Asher提供的approach，這些問題都是必須面對的。





Reference︰
中正哲學「理性與理由」上課內容，2008春
McGee, Van. "A Counterexample to Modus Ponens." Journal of Philosophy (1985)



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直觀主義邏輯好好反省

我現在覺得試圖用直觀主義邏輯系統來為信仰者開脫是一件蠢事︰

1.直觀主義邏輯是基於數學研究的相關理由開發出來的邏輯系統，基本上，在日常推論中是找不到什麼支持直觀主義邏輯系統（相較於古典邏輯系統）的例子的。（一個語言的例子支持直觀主義邏輯系統而非古典邏輯系統，當且僅當這個例子蘊含某些符合直觀主義邏輯且符合直覺，但不符合古典邏輯的現象。）事實上的確存在著一些例子使得大家對古典邏輯有所不滿，例如說謊者悖論以及條件句的真值問題等等，但是這些例子也一樣不相容於直觀主義邏輯。所以，石頭論證作為一個訴諸日常推論直覺的論證，我們一開始並沒有好理由使用直觀主義邏輯（而非其他邏輯系統）來檢視它。

2.一個可能的方向是說，我們（假設我是鐵齒信仰者）秉持著這樣的態度︰「無神論者認為我們這些相信上帝超越邏輯的人應該要對於自己的推論規則給出一個明確的系統，好吧，那我們試試直觀主義邏輯」，純粹把直觀主義邏輯當作一個可能的替代方案，雖然不知道會不會出問題，總比臉色慘白說不出話要強一些。但是如此一來我們便必須背負證成「直觀主義邏輯對日常推論直覺背後的規則的刻劃是恰當的」這個主張的責任，對於不特別青睞直觀主義邏輯的日常推論直覺來說，這個工作不會太容易。

3.就算直觀主義邏輯事實上是有道理的，對於大多數信仰者，我也不期望他們會因為覺得應該認真對待自己的推論原則沒有被刻劃清楚的這個問題而嚴肅地檢視任何邏輯系統。


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邏輯學家的恩典，直觀主義對上帝的救贖？

寫了《評上帝不存在的石頭論證》這篇文章之後我常常在想的一個問題是，如果我是一個死忠而且鐵齒的基督徒，我相信上帝的全能是字面上的意思，我不想委屈自己去接受任何「合理的全能」的修正方案（那根本就是在褻瀆神！），而且我不想接受石頭論證的結論，我該怎麼辦。

最流行的對策是，主張上帝是超越邏輯（transcend logic）的，因為上帝somehow不被邏輯限制，所以石頭論證是無效的，或者石頭論證是有效的但我們不需要接受其結論。直覺上，雖然嗅到一點ad hoc的味道，但我會認為這並不是一個不可能的方向。不過，事實上這個策略的完成度很低，因為沒有人試圖把什麼是超越邏輯給說清楚。

如果我以上帝是超越邏輯的為理由反駁那些提出石頭論證的無神論者說因此我不需要接受石頭論證的結論，我就是在說石頭論證裡有一些推論方法的使用是我不接受的。因此，我所表明的事情其實是我所使用的那套推論法則和無神論者不一樣︰有一些無神論者認為有效的論證在我的判準之下是無效的。一般的神學家和老百姓會在這個地方打住，而無神論者也會因為認為對方不講道理而拂袖而去。不過事實上在這個階段依然有一件重要的事應該被釐清，就是，無神論者用的推論系統是古典邏輯（因為石頭論證在古典邏輯之下是有效論證，不然的話至少也會是一個與古典邏輯中被石頭論證使用的那些規則相容的系統），那教徒呢？

這是一個無法迴避的問題，因為一個人一定會依循某些規則來決定從什麼樣的前提可以推論出什麼樣的結論（對於那些作推理毫無規則可言的人，我們通常叫他瘋子）。如果對於某些人來說上帝具有某種特性使得石頭論證不是有效的，那麼這些人使用的邏輯規則一定和相信石頭論證的無神論者不同。

這樣的不同在爭論中是重要的。因為如果石頭論證在古典邏輯中是有效的，而教徒不接受石頭論證，就表示教徒用來來決定從什麼樣的前提可以推論出什麼樣的結論的系統不是古典邏輯。在這樣的情況下，如果教徒想要宣稱說，自己的主張是有道理的，他必須把自己的推論系統刻劃清楚，然後提出好理由來說自己的系統比古典邏輯更好、更符合我們的推論直覺。

當然在一般的脈絡中，爭論會在到達討論邏輯系統的好壞的層次之前就停滯，因此很少有教徒或者神學家認真考慮這個問題。不過「主張上帝是超越邏輯的」的這個策略本來就是一個挑戰對方的邏輯系統的策略，如果不進而提出替代方案（也就是另一個系統），就如同小孩子吵架，毫無建設性。

我曾經考慮過幾個替代方案︰

a.依然使用古典邏輯，但是加入一條和語意有關的規則︰
當一個句子的主詞指涉上帝，我們無法使用這個句子作為前提（或者前提之一）來推論出任何句子。

這個方案不會是好點子，因為基督徒自己經常使用那些談論上帝的句子來做推論，如果他們接受a，他們就得承認自己沒辦法從「上帝是全善且全能的」推論出「上帝是全善的」，作為避開石頭論證的代價，a太嚴重了。

b.依然使用古典邏輯，但是加入一條和語意有關的規則︰
如果一個論證的結論是矛盾的，而且這個論證的前提中包含任何談論上帝的句子，那麼這個論證是無效的。

比起a，b似乎比較沒有over kill的問題，不過b的問題在於，做為一個回應，它不夠清楚。
也就是說，b並沒有刻畫出一個特定的邏輯系統修正策略，我們可以想到很多邏輯系統使得它們都滿足b的要求，可是在對這些邏輯系統做出完整定義之前，我們沒辦法檢驗它們的合理性。

我沒有時間和興趣造邏輯系統出來檢驗，於是這個問題就掛在那邊了，一直到這學期修非古典邏輯課的時候學到直觀主義邏輯（intuitionist logic）。



直觀主義邏輯是比古典邏輯弱一些的邏輯系統，也就是說，所有直觀主義邏輯之下有效的論證在古典邏輯下都會是有效的，但是有一些在古典邏輯底下有效的論證在直觀主義邏輯之下是無效的。

會有這樣的結果，是因為直觀主義邏輯系統是藉由把古典邏輯系統中的一個推論規則拿掉而做出來的。這個規則就是歸繆法。歸繆法允許我們做出這樣的推論︰

[p]
q
¬q
---------
¬p

也就是說，當我們藉由p作為前提推論出兩個互相矛盾的句子時，我們可以推出p的反面，也就是not p。而正是這樣的規則使得上帝不存在的石頭論證成為有效的論證。

歸繆法的合理性來自於一個直覺︰一個句子和它的反面一定有一個為真，也就是排中律。因為一個句子一個句子和它的反面一定有一個為真，所以當我們從「上帝存在」導出矛盾而證明「上帝存在」不會為真時，可以很直接地宣稱它的反面，也就是「上帝不存在」為假。

接受排中律的邏輯學家大多也會接受歸繆法作為一個有效的推論規則。然而，直觀主義的邏輯學家擁有不一樣的直覺。他們認為說，在做推論的時候，我們可以推出某一個句子p僅當在之前推論的過程中我們掌握了p的證明。換言之，當一個論證的結論是¬p，表示這個論證的前提蘊含了¬p的證明。在這樣的脈絡下，直觀主義者不接受歸繆法。直觀主義者認為，就算p會導出矛盾這件事告訴了我們p這個命題沒有證明，也不表示我們掌握了¬p的證明，因此就算我們知道p會導出矛盾，也依然無法因此推論出¬p。

對於一個論證可以證出什麼句子，直觀主義者比較小心翼翼。這樣步步為營的結果就是直觀主義邏輯能接受的有效的公理和推論規則都比古典邏輯少，因此，給定同樣的前提，直觀主義系統可以證出來的句子不會比古典邏輯系統多。石頭論證就是一個活生生的例子。給定「上帝是全能的」這樣的句子（當然，是經過適當地符號化之後），古典邏輯可以證出「上帝不存在」，而直觀主義邏輯不行。

對於那些非常鐵齒，認為上帝的全能應該依照字面詮釋，而且又非常嚴謹，不願意如同一般的教徒對於自己到底使用什麼推論系統含糊其詞的人，直觀主義邏輯似乎是一個可能的路子。然而，直觀主義邏輯系統所帶來的好處僅只於它是一個清楚且一致的系統（它甚至有現成的語意可以用），對於這樣的系統到底有沒有比古典邏輯更符合我們的推論直覺，是值得商榷的。

事實上，我自己覺得，石頭論證作為一個使用排中律和歸繆法的論證，是很符合直覺的，在從「上帝是全能的」證出「上帝不存在」的過程裡，我看不到有什麼粗心錯誤的地方。

而即使我們因為某些現在還看不出來的理由接受了直觀主義邏輯取代古典邏輯作為最能描述我們日常生活中使用的推論方法的邏輯系統，也不代表鐵齒派可以安享天年。在直觀主義邏輯裡，雖然歸繆法不成立，我們沒辦法從假設p然後導出矛盾來證明非p，但是一個更普遍的直覺還是存在的，即，從矛盾可以導出任何語句。這個直覺在直觀主義邏輯裡被falsum rule所捕捉。「falsum」或者「┴」是邏輯中必定為假的句子（也就是矛盾句）的通稱，falsum rule允許我們在導出┴之後，可以利用┴導出任何語句。在這樣的情況下，雖然石頭論證無效，但是鐵齒派依然必須面對「因為自己相信了一個會導出矛盾的句子所以自己相信任何句子」這樣的後果。我覺得這個後果跟石頭論證有效一樣糟糕。

我想直觀主義不會是對全能的上帝的救贖。當一個宣稱糟糕到那種程度，沒有任何邏輯系統能救得了它。


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