芝諾的烏龜悖論

伊利亞人芝諾（Zeno of Elea，490-435 BC）為了相挺祖師的哲學理論，編了英雄和烏龜賽跑的故事。這個齊備了噱頭、懸疑和幽默的故事，本來應當成為兩千四百年來除了耶穌復活之外最偉大的宣傳，卻因為渲染力太強而喧賓奪主，導致雖然大家都知道阿基里斯曾經和爬蟲有一段過去，卻不曉得他們到底是為了什麼而跑。

芝諾的老師巴門尼德斯（Parmenides，510-440 BC）主張一種現在看來很怪異的形上學︰萬物是固定不變的，所有的運動和變化都是感官帶來的幻覺。芝諾為這個主張想出了四個論證，烏龜悖論是其二，典型的歸繆法︰

...阿基里斯讓了烏龜兩步之後，比賽開始。雖然阿基里斯跑得比較快，但是因為輸在起跑點上，所以一開始是落後的，如果阿基里斯想要贏得比賽，勢必要趕過烏龜。

讓我們假設阿基里斯原來的位置是P0，而烏龜則在比較前面的P1。時間點T0時一人一龜開始跑，在T1時，阿基里斯趕到了P1，然而，因為從P0跑到P1需要一點時間（也就是T1減掉T0後剩下的那些時間），所以在這個時候烏龜也跑到了P1前面的P2，繼續領先。當阿基里斯在T2踏上P2時，烏龜也已經到達了更前面一點的P3...以此類推，每當阿基里斯到達Pn時，因為從Pn-1到達Pn會需要一點時間，所以烏龜也已經在同時到達Pn前面的Pn+1了，雖然阿基里斯和烏龜之間的距離會越來越小，但是男人永遠追不上烏龜。

也可以被改寫成這樣︰

1. 物體會運動（假設）
2. Tn-1時，阿基里斯在Pn-1，烏龜在Pn；Tn時，阿基里斯在Pn，因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間，所以烏龜會在Pn+1（前提）
3. 因為Pn永遠不會等於Pn+1，所以阿基里斯永遠追不上烏龜（前提）
4. 3與常識矛盾
5. 並非物體會運動（1-4歸繆）

因為這個論證實在太好懂又怪異，其散播力遠比被芝諾視為圭臬的什麼「萬物是不動的一」來得快，當後者因為太模糊難解而從高中課本裡被刪掉的時候，烏龜悖論已經在酒吧、沙龍和研討會上橫行無阻好幾千年了。

烏龜悖論對於哲學家而言是難解的謎題，沒有人真的認為它有說服力，沒有人真的因為它而相信事物不可能運動。烏龜悖論帶來的唯一問題就是︰烏龜悖論到底哪裡有問題？為什麼它可以透過沒問題的前提、經由沒問題的推論獲得完全違反常識的結果？

在我的經驗裡，人們在被詢問對於烏龜悖論的評價時，最常出現兩種反應，這兩種反應都不是很好的反應。第一種反應主張說，烏龜悖論很正常，因為理論與事實、邏輯與真實本來就是不切合的。這樣的反應恐怕是奠基在對於邏輯的不當理解以及自己的懶散上︰於邏輯學家而言，邏輯不是一套他們發明的思考方式，而是他們用來捕捉我們日常使用的推理的規則。於邏輯學家而言，一套最理想的邏輯，就是既可以被形式化，其計算結果又與直覺毫無違背的邏輯。當邏輯學家遇到悖論的時候，他們想的是，這個悖論到底哪裡有問題？是某個階段有我沒發現的歧義嗎？還是某個階段偷偷使用了事實上不合法的規則？當邏輯與真實不切合，表示邏輯學家的任務尚未了結，絕不代表「哞，這很正常阿，邏輯是邏輯、真實是真實」

另外一個不太好的反應，是將距離和速度設好之後，用數學算過一遍︰「看吧，阿基里斯會在五秒後在四十二公尺處超過烏龜」這個反應的問題在於反應者完全不了解應該怎樣處理歸繆法︰就算我們使用另外一套推論可以得出不蘊含矛盾的結果，烏龜悖論這一套推論產生的矛盾依然存在。歸繆法，就是故意導出不正常的結果的反證法，其結果的反常大家都知道，不需要另外推論一遍來證明。解消歸繆法的方法是找出推論的瑕疵，而這個工作恰好是另外推論一遍所無法達成的。

有人主張數學的極限值概念可以解決悖論。我對數學不在行，所以不清楚這樣做行不行得通。對於烏龜悖論，我目前最欣賞的解法是林茲的分析。