9.02.2008

芝諾的烏龜悖論

turtle paradox

圖片來自Sen茶

「好吧好吧,雞染你是忍者龜又史女的,窩就讓你一點好了,阿蛙幫嘎!」
阿基里斯搔搔頭,往後退了兩大步。

雞蛋糕手記.325pb.

伊利亞人芝諾(Zeno of Elea,490-435 BC)為了相挺祖師的哲學理論,編了英雄和烏龜賽跑的故事。這個齊備了噱頭、懸疑和幽默的故事,本來應當成為兩千四百年來除了耶穌復活之外最偉大的宣傳,卻因為渲染力太強而喧賓奪主,導致雖然大家都知道阿基里斯曾經和爬蟲有一段過去,卻不曉得他們到底是為了什麼而跑。

芝諾的老師巴門尼德斯(Parmenides,510-440 BC)主張一種現在看來很怪異的形上學︰萬物是固定不變的,所有的運動和變化都是感官帶來的幻覺。芝諾為這個主張想出了四個論證,烏龜悖論是其二,典型的歸繆法︰

...阿基里斯讓了烏龜兩步之後,比賽開始。雖然阿基里斯跑得比較快,但是因為輸在起跑點上,所以一開始是落後的,如果阿基里斯想要贏得比賽,勢必要趕過烏龜。

讓我們假設阿基里斯原來的位置是P0,而烏龜則在比較前面的P1。時間點T0時一人一龜開始跑,在T1時,阿基里斯趕到了P1,然而,因為從P0跑到P1需要一點時間(也就是T1減掉T0後剩下的那些時間),所以在這個時候烏龜也跑到了P1前面的P2,繼續領先。當阿基里斯在T2踏上P2時,烏龜也已經到達了更前面一點的P3...以此類推,每當阿基里斯到達Pn時,因為從Pn-1到達Pn會需要一點時間,所以烏龜也已經在同時到達Pn前面的Pn+1了,雖然阿基里斯和烏龜之間的距離會越來越小,但是男人永遠追不上烏龜。

也可以被改寫成這樣︰

  1. 物體會運動(假設)
  2. Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間,所以烏龜會在Pn+1(前提)
  3. 因為Pn永遠不會等於Pn+1,所以阿基里斯永遠追不上烏龜(前提)
  4. 3與常識矛盾
  5. 並非物體會運動(1-4歸繆)

因為這個論證實在太好懂又怪異,其散播力遠比被芝諾視為圭臬的什麼「萬物是不動的一」來得快,當後者因為太模糊難解而從高中課本裡被刪掉的時候,烏龜悖論已經在酒吧、沙龍和研討會上橫行無阻好幾千年了。

烏龜悖論對於哲學家而言是難解的謎題,沒有人真的認為它有說服力,沒有人真的因為它而相信事物不可能運動。烏龜悖論帶來的唯一問題就是︰烏龜悖論到底哪裡有問題?為什麼它可以透過沒問題的前提、經由沒問題的推論獲得完全違反常識的結果?

在我的經驗裡,人們在被詢問對於烏龜悖論的評價時,最常出現兩種反應,這兩種反應都不是很好的反應。第一種反應主張說,烏龜悖論很正常,因為理論與事實、邏輯與真實本來就是不切合的。這樣的反應恐怕是奠基在對於邏輯的不當理解以及自己的懶散上︰於邏輯學家而言,邏輯不是一套他們發明的思考方式,而是他們用來捕捉我們日常使用的推理的規則。於邏輯學家而言,一套最理想的邏輯,就是既可以被形式化,其計算結果又與直覺毫無違背的邏輯。當邏輯學家遇到悖論的時候,他們想的是,這個悖論到底哪裡有問題?是某個階段有我沒發現的歧義嗎?還是某個階段偷偷使用了事實上不合法的規則?當邏輯與真實不切合,表示邏輯學家的任務尚未了結,絕不代表「哞,這很正常阿,邏輯是邏輯、真實是真實」

另外一個不太好的反應,是將距離和速度設好之後,用數學算過一遍︰「看吧,阿基里斯會在五秒後在四十二公尺處超過烏龜」這個反應的問題在於反應者完全不了解應該怎樣處理歸繆法︰就算我們使用另外一套推論可以得出不蘊含矛盾的結果,烏龜悖論這一套推論產生的矛盾依然存在。歸繆法,就是故意導出不正常的結果的反證法,其結果的反常大家都知道,不需要另外推論一遍來證明。解消歸繆法的方法是找出推論的瑕疵,而這個工作恰好是另外推論一遍所無法達成的。

有人主張數學的極限值概念可以解決悖論。我對數學不在行,所以不清楚這樣做行不行得通。對於烏龜悖論,我目前最欣賞的解法是林茲的分析

19 comments:

  1. 這個問題的本質,的確是一個求極限值的數學問題。而芝諾當時並沒有足以計算極限值的數學工具與極限概念:無限個片段的總和可以是有限的。
    這個概念的缺乏便是悖論的由來。

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  2. 嗨nidor,好久不見

    剛心血來潮去逛了基督版,真是辛苦你了

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  3. 我記得亞里斯多德對他的悖論提出過解釋,解釋方法大約是:雖然照這樣算起來有無限多個點,但是每個點之間的距離會愈來愈短,跑到下一個點所需的時間也會愈來愈短,所以我們不能說阿基里斯永遠追不上烏龜。

    誠如nidor所說的,運用微積分的極限觀念來處理,無限個片段的總和可以是有限的。所以我覺得推論的謬誤大概是出在步驟3:Pn永遠不會等於Pn+1,所以推論的步驟永遠不會結束,這是真的。但是推論的步驟永遠不會結束,這不代表阿基里斯永遠追不上烏龜。亦即:推論步驟的「永遠」,和阿基里斯所耗費時間的「永遠」,兩者是不一樣的概念,不能夠混為一談。

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  4. 我覺得步驟2就錯了
    當阿基里斯從Pn-1前進到Pn時 ,在同時間內 ,因為烏龜比阿基里斯慢的緣故 ,烏龜應該是前進到Pn+x(x大於0 ,小於1)才對.

    另外 ,步驟4的內容怪怪的--4與常識矛盾
    應該是3吧?

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  5. 不是啦,Pn-1那個"-1"是在下標的位置。Pn的意思是「第n個位置」,Pn-1則是指「第n-1個位置」。不是說距離比它少一單位喔。
    步驟4那個我也覺得是寫錯 XD

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  6. kfw︰

    已修正,謝謝你。老實說,你指正的那個版本

    1. 物體會運動(假設)
    2. Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間,所以烏龜會在Pn+1(前提)
    3. 因為Pn永遠不會等於Pn+1,所以阿基里斯永遠追不上烏龜(前提)
    4. 4與常識矛盾
    5. 並非物體會運動(1-5歸繆)

    本身已經是好幾次修正後的結果了,沒想到還是一時大意:p



    inaminor︰

    感謝你的說明。+1和-1的確只是代表編號而已,不過我自己也草率,沒說清楚。

    另外,你用推論步驟和時間的區分來說明,很易懂 :)

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  7. 啊哈哈.... 總要有人來當那個scapegoat的啦....

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  8. 這個推論最大的問題就是無視了"速度"的差異這個因素..

    物體作線性運動的位置function中的variable 不止時間..還有速度

    Tn-1 阿基里斯在 Pn-1.. 鳥龜在 Pn(這裡沒問題)
    #但Tn 時亞基里斯在 Pn..烏龜在Pn+1時
    這裡卻很有問題#

    阿基里斯和龜移動的距離不會是同一個常數... 更由於速度不一樣...
    因而是兩個不同的變數(這個就是這個悖論前題的最大問題)

    假設為DA(n)及DT(n)...


    因此Tn時
    阿里基里斯應在P(開始的地點)+DA(tn)
    而烏龜應在P(開始的地點)+C(烏龜先行的距離)+DT(tn)

    如阿基里斯的速度較快則
    Distance = Speed X Time
    .隨著時間的推移 DA(tn) 會比DT(tn)大得越多
    當DA(tn) 比 DT(tn)+C 大的時候..
    阿基里斯就追過烏龜了

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  9. Hey,barlow︰

    謝謝你的回應,不過這個反駁我們已經討論過了哦。

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  10. 這個答案很明顯就是提出問題者對於"無限"的不認識,誰說無限一定是發散的呢?當然也可以收歛,最簡單的方法就是用Laplace Transform來做驗證,討論不定元的收歛還是發散,這幾乎是所有微積分的第一張,甚至第零章的教學,
    http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%8F%98%E6%8D%A2&variant=zh-tw
    不然數學上對處裡所有"不定元"的東西全部都要來一個邏輯辯證,這會不會太累了?既然我們已經有更精確的描述工具,為何不使用呢?

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  11. 這個邏輯的錯誤就是在3 實在是太簡單了
    3.因為Pn永遠不會等於Pn+1 所以阿基里斯永遠追不上烏龜
    第一個"永遠"的意思是指T1+T2+T3+......+Tn+....(無窮級數)的範圍內 Pn不會等於Pn+1
    第二個永遠的意思是無限大(就是我們說的永遠)
    但是T是一個趨近於零的嚴格遞減數列,故它的無窮級數是一個定值K而非無限大
    所以Pn"永遠"不會等於Pn+1 不能推出 阿基里斯"永遠"追不上烏龜
    這兩個"永遠"根本不是同一個東西

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  12. 這個悖論會讓人產生錯覺
    應該不是"男人永遠追不上烏龜"
    而是"男人在那個時候還沒有追上烏龜"
    一直在男人追上烏龜前的時間做分割然後說"他永遠追不上烏龜"顯得沒有意義
    因為當時他根本就在烏龜的後頭
    用基本的數學公式就能算出男人什麼時候會超越烏龜
    問題想通後有種被整的感覺......

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  13. 抱歉炒冷飯...(剛好在看雞蛋糕裡面跟悖論相關的口味,就逛到這兒了)

    回覆一下lsn:一個嚴格遞減數列的無窮級數可以是無限大啊。1/x(當x>0)不就是如此 ?

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  14. lsn的論述正是我所想的:(3)是錯誤的,兩個永遠定義不同。

      3.因為Pn永遠不會等於Pn+1,所以阿基里斯永遠追不上烏龜(前提)

    第二個永遠是一般意義的永遠(時間的無限)。至於第一個永遠,則是數列上的永遠。如果將這兩個「永遠」都對齊到時間軸上看,第一個永遠代表的時間t,將是個有限的值。

    因為這個數列是收斂的。

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  15. 呃...我有點好奇,這種問題真的會「對於哲學家而言是難解的謎題」嗎?
    想一下就知道問題出在哪了啊...(<=不會微積分數學也爛到爆炸的文組學生)

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  16. 淺見如下:
    一條線,無論直的或彎的,也不管長短如何,總是由無限多個點所構成。
    運動,乃由一點到另一點的位移,沿途必成一條線,即運動路線。
    若由運動路線上的任一點移動到與該點最鄰近的下一點,不管移動速度多快,都一定要花上一段時間的話,則走完該運動路線,不管移動速度多快,也不管運動路線多短,所應花的時間都應該是無限多段時間,也就是說,都是一輩子走不完的。
    這違反常識,不符我們觀察到的物理現象。
    問題出在:運動,或者說位移,是由「線」(距離)和「時間」(變化)的概念所定義。抽離了線,只看一個個點的世界,是沒有運動可言的。所以,從任一點到與其最鄰近的另一點,因為構成不了線(任何一條線,都是無限多個點所構成,兩點不成線),所以也就沒有運動可言,沒有運動所需之時間可說。
    芝諾悖論,癥結應在其以點而不以線來描述運動,這和運動的定義並不相容。

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  17. 1.烏龜跑在前,阿基里斯跑在後面,兩者跑在同一直線上。
    只要「烏龜與阿基里斯之間的直線距離總是保持著愈來愈短的情形」,
    我們就能斷定說「烏龜跑得比阿基里斯慢」。

    2.但我們若以點的數量來看,
    「直線距離愈來愈短」,
    並不等於「構成直線的點數愈來愈少」,
    從而「烏龜跑得比阿基里斯慢」,
    雖然等於「烏龜與阿基里斯之間的直線距離總是保持著愈來愈短的情形」,
    卻不等於「烏龜與阿基里斯之間的相隔點數愈來愈少」。

    3.但若又回到直線距離的觀念來看,
    由於「直線距離愈來愈短」的概念,
    可能包括「直線距離等於零」的終局情形,
    而一旦「烏龜與阿基里斯之間的直線距離等於零」,
    則「烏龜與阿基里斯必在同一點上」,
    等於「阿基里斯已經追到烏龜」了。

    4.所以,「烏龜與阿基里斯之間相隔的點數不會愈來愈少」,
    並不等於「烏龜與阿基里斯之間相隔的點數不可能突變歸零」,
    故不等於「阿基里斯永遠追不到烏龜」。

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  18. 這個悖論有一個假設是"阿基里斯比烏龜快"
    但是這個悖論的的假設二,會讓阿基里斯的速度越來越慢(疑點)
    照這悖論的前提下去,阿基里斯會變得跟烏龜一樣慢
    跟假設不符
    則 推翻

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  19. 阿基里斯與烏龜, 可以說明, 人們追求某些別人定義的東西, 例如跨性別,真正男人或女人
    跨性別就像阿基里斯一樣,透過行為跟儀式來改變自己來追求 社會化性別烏龜,卻永遠追不到!
    更不用說 透過社會化性別來避免歧視跟不認同! 性別刻版印象跟歧視就是社會性別本身!
    跨性別追求烏龜同時也延續烏龜存在! 烏龜本身歧視跟刻版印象跟社會強制 也會存在!


    但是真正該追求是甚麼? 兩性平等自由~
    甚麼叫男人,甚麼叫女人?
    單純器官跟性功能上差異!不應該限制性別應有行為,或甚麼行為是男人女人

    1.性別能透過儀式證明嗎?
    (纏足,燒乳,割禮,斷指,)
    2.性別能被限制行為嗎?
    (穿黑裝,化妝,穿裙子)
    3.性別能附加意義嗎?
    (守貞,男剛女柔,男外女內)
    4.能用1.2.3點證明自己性別嗎?
    (變性手術,gid異性行為,吃藥)

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