烏龜悖論︰林茲的解法

芝諾的烏龜悖論讓哲學家傷透腦筋，然而，有個來自紐西蘭的年輕傢伙建議說，只要我們拿掉一個關於時間和物體的關係的預設，就可以輕鬆解決問題。

當《Time and Classical and Quantum Mechanics : Indeterminacy vs. Discontinuity》在Foundations of Physics Letters上登出來的時候，作者彼得林茲（Peter Lynds，1975~）只有27歲，曾唸過半年大學，在廣播學校當助教維生。在這篇論文裡，林茲主張，烏龜悖論之所以能成立，仰賴於我們對於時空關係的一個錯誤假設︰我們相信自己可以討論運動中的物體在某個瞬間的相對位置。林茲認為這件事情是辦不到的，當我們討論運動中的物體在某個瞬間的相對位置，我們其實沒把話講清楚。當我們說阿基里斯在第三秒時到達P1，我們說的其實是阿基里斯在「第3秒到第3.999...秒之間」踏上了P1（或者阿基里斯在「第2.000...1秒到第3秒之間」踏上了P1，端看裁判的計數方式），在這裡並不存在有一個「第三秒」的瞬間可供我們觀察每個被凍結的東西的位置，有的只是一個長度約一秒鐘的時間間隙，在這個間隙內，阿基里斯和烏龜都仍然在移動中。在這樣的情況下，芝諾的論證

1. 物體會運動（假設）
2. Tn-1時，阿基里斯在Pn-1，烏龜在Pn；Tn時，阿基里斯在Pn，因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間，所以烏龜會在Pn+1（前提）
3. 因為Pn永遠不會等於Pn+1，所以阿基里斯永遠追不上烏龜（前提）
4. 3與常識矛盾
5. 並非物體會運動（1-4歸繆）

中的3不會為真，因為Tn不是一個所有東西都凍結的瞬間，只是一個時間間隙，在Tn時阿基里斯和烏龜能然持續移動著，而他們的距離（因為烏龜在前頭，而阿基里斯跑得比較快）也在持續縮短著。所以，只要n夠大，大到使得(Pn+1)-(Pn)小於阿基里斯和烏龜在Tn所接近的距離，英雄就會在Tn追上烏龜。因此，只要阿基里斯跑得比烏龜快，至少會存在有一個n使得阿基里斯在Tn時追上烏龜。

我喜歡這個分析方法，因為一來，它真正地回答到了問題︰把論證列出來，它可以告訴我們這個論證的哪一步走錯了；二來，它很漂亮且明確地指出了悖論看似有效的原因︰我們的用詞太sloppy了，我們很輕易地將「阿基里斯在第三秒時到達P1」這種話說出口，卻沒有仔細追究這句話到底是什麼意思，我們以為自己可以談論運動中的物體在某個瞬間的相對位置，但其實不行。維根斯坦相信所有的哲學問題都是語言的問題，可以藉由釐清語意來解決。我不知道維根斯坦的想法是不適切，但是，如果林茲是對的，他的solution倒是為這樣的主張提供了一個好範例。

林茲的主張在物理學上應該有一些蘊含，甚至也許和檯面上的理論會有所牴觸，但是這方面我一點也不懂。

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我對於林茲的理論的理解來自於科學人的這篇報導。當時我高三，覺得這真是酷斃了，並且試圖在哲學系申請入學的面試裡和教授分享，不過似乎他們並沒聽懂眼前這個緊張且表達能力不太好的學生到底想說些什麼。