9.07.2008

烏龜悖論︰林茲的解法

芝諾的烏龜悖論讓哲學家傷透腦筋,然而,有個來自紐西蘭的年輕傢伙建議說,只要我們拿掉一個關於時間和物體的關係的預設,就可以輕鬆解決問題。

《Time and Classical and Quantum Mechanics : Indeterminacy vs. Discontinuity》Foundations of Physics Letters上登出來的時候,作者彼得林茲(Peter Lynds,1975~)只有27歲,曾唸過半年大學,在廣播學校當助教維生。在這篇論文裡,林茲主張,烏龜悖論之所以能成立,仰賴於我們對於時空關係的一個錯誤假設︰我們相信自己可以討論運動中的物體在某個瞬間的相對位置。林茲認為這件事情是辦不到的,當我們討論運動中的物體在某個瞬間的相對位置,我們其實沒把話講清楚。當我們說阿基里斯在第三秒時到達P1,我們說的其實是阿基里斯在「第3秒到第3.999...秒之間」踏上了P1(或者阿基里斯在「第2.000...1秒到第3秒之間」踏上了P1,端看裁判的計數方式),在這裡並不存在有一個「第三秒」的瞬間可供我們觀察每個被凍結的東西的位置,有的只是一個長度約一秒鐘的時間間隙,在這個間隙內,阿基里斯和烏龜都仍然在移動中。在這樣的情況下,芝諾的論證

  1. 物體會運動(假設)
  2. Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間,所以烏龜會在Pn+1(前提)
  3. 因為Pn永遠不會等於Pn+1,所以阿基里斯永遠追不上烏龜(前提)
  4. 3與常識矛盾
  5. 並非物體會運動(1-4歸繆)

中的3不會為真,因為Tn不是一個所有東西都凍結的瞬間,只是一個時間間隙,在Tn時阿基里斯和烏龜能然持續移動著,而他們的距離(因為烏龜在前頭,而阿基里斯跑得比較快)也在持續縮短著。所以,只要n夠大,大到使得(Pn+1)-(Pn)小於阿基里斯和烏龜在Tn所接近的距離,英雄就會在Tn追上烏龜。因此,只要阿基里斯跑得比烏龜快,至少會存在有一個n使得阿基里斯在Tn時追上烏龜。

我喜歡這個分析方法,因為一來,它真正地回答到了問題︰把論證列出來,它可以告訴我們這個論證的哪一步走錯了;二來,它很漂亮且明確地指出了悖論看似有效的原因︰我們的用詞太sloppy了,我們很輕易地將「阿基里斯在第三秒時到達P1」這種話說出口,卻沒有仔細追究這句話到底是什麼意思,我們以為自己可以談論運動中的物體在某個瞬間的相對位置,但其實不行。維根斯坦相信所有的哲學問題都是語言的問題,可以藉由釐清語意來解決。我不知道維根斯坦的想法是不適切,但是,如果林茲是對的,他的solution倒是為這樣的主張提供了一個好範例。

林茲的主張在物理學上應該有一些蘊含,甚至也許和檯面上的理論會有所牴觸,但是這方面我一點也不懂。

...

我對於林茲的理論的理解來自於科學人的這篇報導。當時我高三,覺得這真是酷斃了,並且試圖在哲學系申請入學的面試裡和教授分享,不過似乎他們並沒聽懂眼前這個緊張且表達能力不太好的學生到底想說些什麼。

46 comments:

  1. 這個.... 整個就不對吧....

    第一,就巨觀的牛頓物理來說,簡單的微分就可以完美解釋速度與位置的關係。

    第二,林茲的說法基本上只不過是把微分方程中的dx/dt換成Δx/Δt。高中的時候數學課介紹微分方程就是這樣介紹的。這種粗糙的方法當然可以用,不過這代表他的數學不好,連微分都不會。

    第三,他的論證有個明顯可見的問題。爲什麼沒有第三秒,而是3.000~3.999?未什麼不是2.997~3.003?或是0.0~6.0?其中沒有任何道理存在。

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  2. 1和2.
    我不會微積分,下面我根據猜想盡量回應︰

    只要設好移動距離和總時間,然後假設速度不變(或者雖然速度有改變,但是在任何時間點的加速度都給定),根據數學方法當然可以對於時間的軸上的每一秒給出移動距離,因為對數學來說,時間軸是一條數線,「第三秒」只是一個點,而數學假設點沒有長度。然而,這樣的算式是不是反映事實,又是另外一回事了。數學是一個模擬系統,我們把個數和長度量化之後,找出一些實測結果和事實接近的公式拿來用。但不保證(即使輸入值完全正確)世界的狀態跟算式之間有同構關係。數線上的點沒有長度,不代表我們真的有辦法把「第三秒」當成一個所有東西都凍結的瞬間來談。


    3.
    至於第三點,就算我們把第三秒讀成2.997~3.003或是0.0~6.0,它代表的依然是留有運動空間的時間間隙而非瞬間,在這樣的情況下,作為前提足矣。

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  3. 他的說法還有一個明顯的問題。有關速度的定義。

    林茲認為每個時間"間距"中,物體都是在移動,並沒有固定。這是正確的。

    所謂移動,就是代表具有速度;所謂速度,就是單位時間內移動的距離。所謂單位時間內移動的距離,就是(X2-X1)/(T2-T1)。

    請問,若沒有距離點與時間點的明確關係,他要如何定義速度?

    因為他的說法無法定義速度,自然也就無法找出速度與距離的微分關係,整個牛頓物理的基礎也就無法建立了。

    時間單位區間的取捨,就是Δx/Δt。當Δt越來越短的時候,對現實的描繪也會越來越接近。當Δt趨近於0的時候,就必須使用數學工具引入微分的概念,此時就必然會得出大一物理課所教導的牛頓物理。

    如果他懂微分就不會提出這麼粗糙的想法了。

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  4. 你說的我理解。

    不過從這些事實並沒有辦法判斷到底是林茲錯了,還是牛頓物理學運用那些數學假設便宜行事到現在終於踢到鐵板。

    有一點值得注意,就是就算林茲是對的,在工具用途上,我們也不需要因此放棄整個牛頓物理學以及它的計算結果。

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  5. 他的說法嚴格說起來並沒有那麼"錯",只是單純的粗糙。他對數學工具的理解僅僅到18世紀(牛頓前)的水準。

    無法定義速度,也就無法定義各種更高階的向量,如加速度及跳量等。所以他所提供的物理圖像,遠不及應用微積分的牛頓力學來的精確。

    就科學上來說,這樣粗糙的東西,在有了微積分為基礎的牛頓力學之後,就應該被丟掉了......

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  6. 哈哈哈哈哈哈哈
    白鹿不會微積分




    我這個人真讓人討厭ˊˋ

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  7. nidor︰

    (我覺得我們兩個一直在同語反覆orz)

    精確、可以幫助我們造太空梭,不代表正確、為真。

    牛頓的物理以數學為基礎,而如果數學做了和實際不符合的假設(不難想像數學會做這種事,例如,我們可以很輕易地用數學討論一兆兆分之一cc的酒精的重量,然而事實上這可能完全不make sense,因為搞不好把1cc酒精切到一兆分之一時我們就遇到單一分子了,再切下去就不是酒精了),牛頓物理就是錯的。

    不能用來計算、不能用來做太空梭,不代表理論是錯的,僅代表理論不實用。

    如果林茲是對的,科學家大可以承認林茲正確地描述了事實,然後回過身來繼續把牛頓物理學當做計算工具,這之間一點衝突也沒有。



    林小姐︰

    最近會寄來的那張cd啊...我該跟郵差說沒有這個人嗎...

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  8. 這個問題的關鍵在於科學的精確性與工具性。

    精確性指的是對於觀察的描述可以到多精確。精確的描述可以提供準確的物理圖像;粗糙的描述往往留下很多有問題的空間。例如乙太的假設,不如馬克士威方程式推導的電磁波特性來的精確(也不如馬克士威方程式所描述的廣泛),也因此提供了一個大有問題,最後被拋棄的物理圖像。

    工具性的意義是:只要這個物理圖像符合科學哲學,就算其所描述並非實質存在,我們仍然歡迎。這邊隱含了物自身不可得的概念,所以我們完全拋棄探討物自身的問題,僅僅讓理論貼近觀測結果即可。

    所以總合以上,假設是否正確或者符合事實,端看觀測結果。解釋力強的勝出,解釋力弱的丟棄。

    回到林茲的論點:他的說法因為使用的數學工具不良,在精確性,預測性,廣泛性,工具性上,都比不上牛頓力學,因此最多只能算是根雞肋。

    他是否解釋了事實?所謂事實往往是個精確性的問題。十七世紀的人大概會認為他解釋了事實;十九世紀的人大概會說,謝謝再連絡。

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  9. 我們對科學該如何找到事實的理解不同啊。

    在這樣的情況下,有沒有更高的準則可以用來討論呢?

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  10. 事實就是觀察。

    當我們的觀察只限於區域座標系中緩慢的運動時,牛頓力學的精確度足矣。

    當我們的觀察接近光速的運動,牛頓力學精確度大幅下降,便需要加上狹義相對論效應方能補足。

    當我們的觀察靠近巨大質量的運動,牛頓力學的精確度大幅下降,便需要加上廣義相對論方能補足。

    當我們的觀察,不只接近光速,而且還跨越宇宙中數十億光年的距離,我們便發現牛頓力學加上相對論效應仍然無法解釋的加速度,這個時候就不得不引入暗能量。(當然也有人是朝修正相對論或修正光速之類的理論進行中)

    所以當我們觀察的尺度不一樣,精確度要求不一樣的時候,便會產生不同的事實。

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  11. 準確性要求能夠被這樣地上綱的前提是,具備這樣的準確性的理論所描述出來的那些事態是有可能出現的。

    數學可以計算一兆兆分之1cc的酒精重量是xg,但是如果一兆分之1cc的酒精就已經是單一分子,那麼這樣的準確性就無法擁有描述事實的優勢。

    林茲的主張蘊含了,牛頓物理利用數學算出來的理論結果在事實上不可能出現,因此,在這裡我們不能利用準確性要求來反駁他(或者至少得先反駁他這個對準確性不利的蘊含)。

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  12. 他的論點其實有個內在的矛盾:他必須在"可行的"觀測步驟上說服我們,為何在一個時間單位內,物體有所移動。也就是物體移動的操作型定義。

    一旦他企圖這麼做,他就不得不定義物體某個時間點的位置,並定義物體在下個時間點的位置。如此將使得他自己的論點陷入矛盾。

    這種隱含"你不了解物自身狀態"的主張,在科學哲學的工具性要求下,將變得一無是處。唯有觀測才是王道。

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  13. 我想,在這樣的主張之下,物體在時間間隔內的移動依然是可以被定義的。

    雖然在林茲的理論下,我們不能說a在1秒到兩秒時由x移動到y(1秒時在x,2秒時在y)。但是我們(依據對於計時和起跑、到達紀錄控制的精確程度)依然可以掌握到,例如說,

    P︰a在0.9000...1到1秒這個間隙和1.9000...1到2秒這個間隙中(含這兩個間隙本身,我想不到適當的介詞),由x跑到y

    或者

    Q︰a在0.9990...1到1秒這個間隙和1.9990...1到2秒這個間隙中,由x跑到y。

    我猜,當我們掌握了P或者Q,跟當我們掌握的是「a在1秒到兩秒時由x移動到y」,在實驗操作和其它的實務上不會有太大的差別。(就算P和Q因為給定的間係太大而無法滿足實務要求,林茲也允許一個間隙更小的R)

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  14. 這樣不算操作型定義啊.... 更何況這種烏龜上面疊烏龜,大象背上背大象的俄羅斯娃娃說法,只要一直往每個時間間距中去推,自然就必須引入數學上的極限值,最終導致回復到牛頓力學的結果。

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  15. 關於操作行定義︰

    抱歉是我忘了,定義成這樣如何︰

    a在時間間隙t*1和t*2之間由x移動到y,
    iff
    a在t*1中被觀察到位於x,在t*2中被觀察到位於y


    你說的「只要一直往每個時間間距中去推,自然就必須引入數學上的極限值,最終導致回復到牛頓力學的結果」指的是當a位於x(或者x和y之間的某一點)時所處的時間間隙越推越小,最後可以藉由數學計算出a位於x時的時間點嗎?

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  16. 對.... 數學上就代表這樣的極限存在。
    只要可以無限逼近就行,該點可以不討論,極限仍然存在。

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  17. 這個解法應該可以列為"瞬間移動派"的一種。所謂瞬間移動派是指你的物理語言允許像"A 在 Pn at Tn"和 "A 在 Pn+1 at Tn"這樣句子們同時為真,或者可以同時同等地被 confirm等等。不過這個解法照你的描述負擔似乎比一般的瞬移派大,因為它允許Tn指到現在一般所認為很長的一段時間:Tn可以指一整個"第三秒" 。這樣還不如主張普通的瞬移派。

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  18. nidor︰

    了解,但是這並不代表林茲的理論蘊含作為描述準確事實的命題的那些牛頓物理的計算結果。因為一個人可以既相信林茲的理論,同時又相信極限只是近似值,或者相信求極限就像切酒精。

    因此,就算林茲派一樣可以利用牛頓物理做計算,這也僅代表他們可以在享有牛頓物理帶來的好處的同時,不必背負那個在解決微積分是否能反應事實的問題之前還無法確認其可靠性的,「牛頓物理反映事實」的宣稱。


    泰,初次見面你好︰

    所以瞬移派認可的Tn會比較小,是嗎?

    不過我不覺得這是負擔,因為「在這五分鐘內,我去郵局劃撥,又到企銀辦甲存」是語言中很正常的句子。我想,一旦時間間隙越大,我們在期間就可以做更多事,去更多地方,這應該沒什麼反常的罷。還是說我沒看懂你的意思?

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  19. "牛頓物理是否反映事實"的問題,就是我所提到的,事實就是觀察。

    這樣的宣稱可靠嗎?只要符合觀察結果就可靠。是否能反映事實?只要符合觀察就反應事實。

    當然,這些宣稱是在符合牛頓力學的觀測精密度的前提之下才符合。當距離觀測精密度提高到物質波波長的時候,或是時間的單位到了普朗克時間的尺度的時候,牛頓力學很可能是完全錯誤的。但是在巨觀上,一定會收斂到牛頓力學的結果。

    要反對牛頓力學運用極限計算的前提(位置與時間是連續的),就必須找出可觀測的數據,讓它不得不失效。

    林茲的宣稱沒有任何觀測的結果支持他的說法;而此說法解釋力遠遜於牛頓力學,數學上又不堅實(很難想像這樣的問題不引入極限的概念),實在很難找出可以為他背書的理由。

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  20. 關於「要反對牛頓力學運用極限計算的前提(位置與時間是連續的),就必須找出可觀測的數據,讓它不得不失效」

    我想你跳過了一個步驟,就是檢查某個移動中的物體是不是真的如牛頓物理的計算般地,真的在某個瞬間處於某個點。如果這真的能被觀測到(當然,在這裡是指真的觀測,而非收集夠多資訊後用數學推算,否則就變成循環舉證了),牛頓物理就符合事實。在這個步驟被達成(而且,在歸納法的傳統下,可能要被達成夠多次才行)之前,牛頓物理是未被證成的(或者至少也是循環舉證的),根本輪不到對手來找反例。


    再來,受不受到觀測支持的問題。

    我猜,如果因為觀測的限制而使得「a在0.00001秒時處於x」和「a在0.000009999秒和0.00001之間處於x」(或者其它小數點後更多位的時間數字)在觀測上毫無區別的話,對於市面上所有的觀測結果,如果它能經由數學計算來認可牛頓物理,那麼它也能用一樣的方法來認可林茲。

    我想,牛頓物理才是真正難以被實驗直接支持的理論,我們什麼時候真的觀察過「移動中的x在t這個瞬間處於p」這種事情?

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  21. "檢查某個移動中的物體是不是真的如牛頓物理的計算般地,真的在某個瞬間處於某個點"

    一個函數若要其值等於其極限值,則該函數必須要是連續的。這是牛頓物理計算的前提。

    牛頓物理藉由假設時間與空間的連續性,方可以極限值進行運算。這個前提在牛頓物理的觀測範圍內都沒有發現反例,就如同光速不變是相對論的前提一樣。

    依照工具性原則,理論符合觀測結果即可。就算該時間點物體會瞬間消失也無所謂,因為我們觀測不到。

    林茲的理論被拋棄不在於是否真的時空不連續,而是他的物理圖像解釋力不足(缺乏一階以上向量的解釋)。

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  22. 林茲的理論和時空的連續性相容嗎?

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  23. 你沒有誤解我。問題在於要怎麼解釋「在這五分鐘內,我去郵局劃撥,又到企銀辦甲存」的意義。最直覺的作法是用先後這樣的概念,我"先"去郵局"後"去企銀,但這種解釋似乎很難不說是暗示"這五分鐘"其實可以拆成至少兩個時段,而這是你在說明為什麼Achilles可以追的上烏龜時不想要的。你大概不想說,在Tn的時候,Achilles"先"在Pn,"後"在Pn+1,追到了烏龜,因為那會聽起來像Tn裡還可以分出至少兩個時段,再後一個時段Achilles才追到了烏龜;可是為什麼烏龜在後一個時段裡沒有也向前進到了Pn+2呢?

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  24. 林茲的理論並沒有討論他的立論基礎上,時空是否連續,可能是非連續的(每個時間間距中,位置是跳躍的瞬間移動)也可能是連續的。如果他的論證對"每一個"時間間距都有效,也就是不管切到多細仍然有效,那其實就隱含了連續的概念。連續性的函數如果不用極限去運算就太笨了。

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  25. nidor︰

    原來如此。那麼,如果林茲採取和時空的連續性相容的立場,牛頓物理可以藉由時空的連續性的假設而做到的那些事情,林茲的理論也能做得到,不是嗎?

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  26. 所以我說他的說法嚴格說起來不算錯,只是在數學上很粗糙啊.... 大概就像用湯匙轉螺絲,用羅賴把吃飯這樣,勉強算可以用,但是不是個好的解決辦法。

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  27. 是你這個有筆誤還是我看錯了,應該是這樣看吧?
    「Tn-1時,阿基裡斯在Pn-1」
    「烏龜在Pn;Tn時,阿基裡斯在Pn」
    應該是Pn-1吧?


    從何得出「阿基裡斯跑得比較快」?


    經過刪刪減減之後才發現,我把之前的論調全部刪掉了……

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  28. 嗨,

    原意應該是這樣︰

    Tn-1時,阿基里斯在Pn-1,烏龜在Pn;

    Tn時,阿基里斯在Pn,因為從Pn-1跑到Pn需要一點時間,所以烏龜會在Pn+1

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  29. 我覺得上面的爭辯都太深奧了,其實不用會微積分也能用數學的角度來想這題,更不用搬出空間或時間到底連不連續這種常人無法思考的問題來解決此題。

    有問題的敘述是第二項中:所謂所需的一點時間究竟是什麼?

    根據常理我們可以推斷:ΔTn=Tn-Tn-1是遞減的,我們把這個看似無窮多個的ΔTn加起來的結果到底是什麼呢?很明顯的不會加到無窮大到去,所以阿基裡斯可以在有限的時間內追得到烏龜。

    其實芝諾的說法只是把有限的時間做無限的分割而已,只要稍微學過高中的數列與級數的概念,都能思考這個問題的。

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  30. 哈囉,billy︰

    我猜你的說法跟微積分的解法一樣,不過我也不知道為什麼就算不懂微積分也可以理解這種解決方法。


    我想,「解法a比較簡單,所以我們不需要其它的解法b、c或d」這種想法在某種意義上不恰當。

    雖然只要挑出一個錯誤就可以打跨一個論證,但一個論證可能不只有一個錯誤。任何一個多餘的解法,只要是對的,都有助於我們從其它方面理解這個論證的錯誤,以及理解在該方面的那些相關的事實。

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  31. 我覺得我的說法可以在不用動用"真正"微積分的情況下用數學解決這個題目,讓沒學過微積分的人比較能理解。

    現在科學教育不能普及的最大原因就是因為科學家或數學家們用的語言實在太艱澀,讓社會大眾根本不知道他們在講什麼,進而就對自然科學敬而遠之。

    上面白鹿大跟nidor大的爭辯固然很令人激賞,也讓我受益良多。不過站在科學普及的立場,我希望能有一個較符合大眾程度的方式來說明。

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  32. 早安,billy︰

    我了解你的意思了,這是個好建議。

    以後在處理類似的問題的時候,我會注意記得介紹那些比較簡單的解法。

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  33. 這個想法非常有創意

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  34. PikaRen:

    我也這樣覺得 :)

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  35. 這篇我好久以前就看到, 但一直看不懂, 今天終於看懂了(大概)。

    我認為這個想法是錯的。或許也不能說他是錯的, 應該說他沒騷到癢處。

    林茲以為當我們說 Tn 的時候我們是在討論一個時間區間 Tn, 這前面 nidor 已經說了, 這是錯的。我們說的就是 Tn 那個零維的時間點, 不是別的。這很明顯也芝諾所使用的時間定義, 也因此才有「某時間」的時候人或烏龜的「位置」。如果 Tn 是一個區間, 那就 Tn 時某物的「位置」就沒有意義, 因為每個時間點的位置都不同, 因此「位置」這個概念就沒有被 well-defined。

    不過這只是小毛病, 真正的問題在於他沒有打到芝諾悖論的要害。芝諾悖論之所以會讓人追不到烏龜, 是因為他一開始就假設追不到。他的論述是人龜各自的位移為基礎, 把時間當成是位移的函數。他的烏龜都在人前面, 而時間祇是用來補上這段位移而已。也就是說, 芝諾的所有論述都在人沒有追到烏龜的那段時間裡面, 因此自然追不到。如果用林茲的語言來看的話, 就是芝諾的每個 Tn 都不一樣大, 人越接近烏龜的時候, Tn 就越小, 所以不可能存在一個 n 使得 P_n+1 - P_n 小於 Tn 內他們所接近的距離。因為按照芝諾的悖論, 這時候的 Tn 會變得很小, 使得他們再這段時間內接近的距離不足以超過 P_n+1 - P_n。

    簡單的說, 芝諾的 Tn 是一個滿足「追不到」這個條件的變數, 所以不管 Tn 如何增加, 都追不到〈級數收斂〉。而林茲的 Tn 大小是定值, 所以當這個定值累加到一定程度〈級數發散〉之後, 自然會追過〈廢話, 人本來就會追過烏龜〉。既然他們使用的模型不同, 那根本就不是在講同一件事...

    一言以蔽之, 林茲在打稻草人...

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  36. ⊆∀⊥⊻ιN︰

    我想那並不會是林茲的缺點,因為對於任何的符號系統,我們都只能藉由拿掉條件或者更換定義來改變邏輯結果,然而這不見得就是在打稻草人,因為林茲宣稱的不是「在烏龜悖論的時空模型之下,阿基里斯可以追到烏龜」,而是「烏龜悖論的時空模型是錯的(不符合事實),我的模型是對的,在我的模型之下,阿基里斯可以追到烏龜」

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  37. 你的說法跟我對這個問題的理解似乎不太一樣。如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度和位移的關係了, 又何必林茲再來提出一個小學生版的?

    任何人都知道阿基里斯跑的比烏龜快(因此可以追到烏龜), 芝諾當然也知道。芝諾悖論真正的意義就在於他的理論明明在邏輯上是正確的, 卻推出了似乎跟事實不符的結果(追不到烏龜)。

    因此, 所謂解決這個悖論, 就要提出解釋為什麼會產生悖論, 產生矛盾, 而不是提出另外一個模型說, 你看我的模型有搞頭, 跟真實世界是一樣的, 因此我的是對的, 芝諾的是錯的。

    我想說的就是, 芝諾的模型沒有錯, 阿基里斯會追到烏龜也沒有錯, 之所以會產生衝突, 是因為大家(包括芝諾)看待他這個模型的時候的前提錯了。芝諾的模型描述的並不是「阿基里斯追烏龜」, 而是「阿基里斯追到烏龜之前」。

    而我認為提出這一點, 才能稱作是解決了悖論。

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  38. ⊆∀⊥⊻ιN︰

    @︰如果照你的說法, 那牛頓的運動學模型早就可以完美的解釋速度和位移的關係了, 又何必林茲再來提出一個小學生版的?

    因為牛頓力學會有烏龜悖論啊(給定牛頓力學,芝諾的推論會導致悖論)。

    @︰之所以會產生衝突, 是因為大家(包括芝諾)看待他這個模型的時候的前提錯了。芝諾的模型描述的並不是「阿基里斯追烏龜」, 而是「阿基里斯追到烏龜之前」。

    為什麼芝諾該有這個前提?你這樣做不算是擅自改動人家的模型嗎?而且這樣的改動可能是ad hoc的欸,因為,除了「這樣就不會有悖論」之外,你好像沒有提出好理由來說,為什麼他的前提是你說的這個而不是另外一個。

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  39. 我前面已經解釋過了, 芝諾的前提本來就在, 不是我加的, 只是他是 implicit 的, 所以不容易察覺。我在這邊可以證明給你看。

    以下我們先定義一些符號:

    V_A: 阿基里斯的速度

    V_T: 烏龜的速度

    R: 烏龜一開始領先的距離

    t: 時間變數

    根據牛頓運動學〈這其實也不能算牛頓運動學, 因為在牛頓之前就有了〉

    阿基里斯跟烏龜達到同一個位置的方程式如下:

    V_A*t = V_T*t + R〈阿基里斯跑的距離, 等於烏龜跑的距離加上一開始的差距〉

    t = R*(V_A - V_T)^(-1)〈代數移項〉

    所以阿基里斯什麼時候會超過烏龜?

    當 V_A*t - ι = V_T*t + R

    t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1) 時

    其中 ι 任意正實數。

    現在我們再來看芝諾悖論在牛頓運動學框架下的等效表現:

    芝諾說, 當阿基里斯〈簡稱 A〉跑到烏龜〈簡稱 T〉本來的位置的時候, 這段時間 T 又往前移了一點, 而當 A 到 T 第二次測量時的位置時, T 又利用這段時間往前移了一點, 所以 A 永遠追不到 T。

    A 跟 T 的初始距離為 R, 假設 A 跑到 R 需要的時間為 t_1, 則

    t_1 = R/V_A

    T 利用了這段時間, 也就是 t_1 往前跑了一點, 所以他跑的距離為 V_T*t_1

    此時 A 和 T 的距離即為 V_T*t_1, 重覆前面, 則 t_2 = (V_T*t_1)/ V_A

    所以我們知道, t_1 = R/V_A, t_(n+1) = (V_T/V_A)t_n 〈乘法結合律〉 , 對於任何的 n 屬於自然數

    我們現在把這些時間全部加起來:

    S = Σ(n=1, ∞) t_n = t_1 + t_2 +... = t_1 + (V_T/V_A)t_1 + (V_T/V_A)^2 * t_1 + ...

    由於阿基里斯跑得比烏龜快, 所以 V_A > V_T, V_T/V_A < 1, 因此此幾何級數收斂至:

    S = t_1/[1 - (V_T/V_A)] = (R/V_A)/[1 - (V_T/V_A)] = R*(V_A - V_T)^(-1) 〈與我們之前牛頓力學算出來的結果一致〉

    但是必須注意的是, 我們這次的結果是用「無限」級數算出來的, 那是什麼意思呢?

    這邊有兩個很重要的關鍵:

    第一點, 只有當 n -> ∞, 我們的級數才會等於牛頓結果。其他當 n 等於有限值的的時候, 期時間和都小於牛頓結果〈這很明顯, 因為那樣我們就少加了很多〈無限〉次〉。那 n -> ∞, 又是什麼意思? 意思是, 在微積分/極限概念之前, 使用我們正常的人的小腦袋, 必須重覆芝諾的 argument 無限多次, 阿基里斯才會追上烏龜。而這是不可能的, 因為我們不可能想那麼多次。

    第二點就是我要證明的東西。在芝諾的模型底下, 所有的「可能的」 t_n 累計起來其和是等於 S, 而 S 有限值。這是什麼意思?意思是在芝諾的模型底下, 「時間」永遠不會達到 t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1)。那這又是什麼意思?意思就是我前面說的, 芝諾模型討論的範圍, 是「阿基里斯追上烏龜以前」的情況〈即 t < R*(V_A - V_T)^(-1), 而不是「阿基里斯追烏龜」。因為如果是「阿基里斯追烏龜」, 那 t 當然應該是開放的, 我們才能討論在哪個 t < ∞ 時, 阿基里斯會追到烏龜。芝諾現在限定了我們只能討論 t < R*(V_A - V_T)^(-1) 的情況, 也就是阿基里斯「還」沒有追到烏龜的情況, 那阿基里斯自然永遠追不到烏龜。

    所以會產生悖論的並不是牛頓力學, 我們一開始就用牛頓力學算出來什麼時候會追上了。會產生悖論的, 是加上芝諾限制條件以後的牛頓力學。而證明過程很明顯可以看出來, 芝諾悖論的 argument 的邏輯是一致的, 並沒有矛盾, 只是使用的範疇錯了。

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  40. 一言以蔽之, 如果你要五秒才能追上烏龜。芝諾說的就是, 哈哈哈, 我賭你這五秒之內永遠追不上烏龜。

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  41. ⊆∀⊥⊻ιN︰

    @第二點就是我要證明的東西。在芝諾的模型底下, 所有的「可能的」 t_n 累計起來其和是等於 S, 而 S 有限值。這是什麼意思?意思是在芝諾的模型底下, 「時間」永遠不會達到 t = (R + ι)*(V_A - V_T)^(-1)。那這又是什麼意思?意思就是我前面說的, 芝諾模型討論的範圍, 是「阿基里斯追上烏龜以前」的情況〈即 t < R*(V_A - V_T)^(-1), 而不是「阿基里斯追烏龜」。因為如果是「阿基里斯追烏龜」, 那 t 當然應該是開放的, 我們才能討論在哪個 t < ∞ 時, 阿基里斯會追到烏龜。芝諾現在限定了我們只能討論 t < R*(V_A - V_T)^(-1) 的情況, 也就是阿基里斯「還」沒有追到烏龜的情況, 那阿基里斯自然永遠追不到烏龜。

    囧我覺得你說的是對的...

    真謝謝你這麼詳細的說明,Good Job!

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  42. 如果1+1=2能包含一顆蘋果加上一顆蘋果等於兩顆蘋果的概念...
    那我就能接受使用微積分或其他數學解決這個悖論的方法.

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  43. 他只是在阿基里斯還沒追上烏龜之前
    對時間作了無限次的分割
    這個無限跟時間性上的無限 是不一致的

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  44. 今天重看了一次這篇
    ⊆∀⊥⊻ιN講的讓我恍然大悟

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  45. 其实,这个不是悖论。
    是一幅照片。
    在照片里的人怎么能赶上另一个呢?

    再深一层的意思是什么呢?
    世界本身就是一份一份的。
    是你自己误解了,以为有个连续的东西在那里。

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