從矛盾句證明羅素是教宗

學過邏輯的人都知道，（至少在古典邏輯裡）從矛盾的前提可以邏輯地導出任何結論。

在說明這件事的時候，有一些人會用這個例子︰

1. 2+2=5
2. 把兩邊各減去2，得到2=3
3. 左右互換，兩邊各減去1，得到2=1
4. 教宗與羅素是兩個人而且2=1，所以教宗等於羅素

我不知道這個例子可以用來解釋什麼，不過絕對沒辦法用來解釋他們想用它來解釋的那件事。因為在這個例子裡前提不必然會蘊含矛盾。2+2=5又怎樣？說不定那是一個奇怪的數學系統，在那裡面2+2就是等於5。要讓前提矛盾，僅僅把一個實際上不為真的2+2=5放進去是不夠的，至少要有P和not P同時出現才算數。如果這種例子可以用來說明從矛盾可以推出任何結論，那麼下面這個也可以︰

1. 羅素是教宗
2. 根據1，羅素是教宗

那麼，是不是我們在前提裡加上「並非2+2=5」就可以構築一個能夠說明原來那個現象的例子呢？

1. 2+2=5，而且並非2+2=5
2. 把兩邊各減去2，得到2=3
3. 左右互換，兩邊各減去1，得到2=1
4. 教宗與羅素是兩個人而且2=1，所以教宗等於羅素

還是不行，因為在這個例子裡，結論之所以能夠被推導出來，和前提是否蘊含矛盾一點關係也沒有。（也就是說，即使前提不蘊含矛盾，推出結論所必須的那些步驟還是一樣會有效）

因此，就算這個例子的前提蘊含矛盾，它依然沒辦法被用來解釋為什麼蘊含矛盾的前提可以導出任何結論。

對於這件事，標準的解釋是這樣︰

1. P，而且not P
2. P〔根據1〕
3. P或Q〔根據2〕
4. not P〔根據1〕
5. Q〔根據3、4〕

在（3）中，Q可以是任何句子。因為（1）已經給定了P為真這件事，不管Q代表什麼句子，「P或Q」都會為真。