1.09.2009

從矛盾句證明羅素是教宗

學過邏輯的人都知道,(至少在古典邏輯裡)從矛盾的前提可以邏輯地導出任何結論。

在說明這件事的時候,有一些人會用這個例子︰

  1. 2+2=5
  2. 把兩邊各減去2,得到2=3
  3. 左右互換,兩邊各減去1,得到2=1
  4. 教宗與羅素是兩個人而且2=1,所以教宗等於羅素

我不知道這個例子可以用來解釋什麼,不過絕對沒辦法用來解釋他們想用它來解釋的那件事。因為在這個例子裡前提不必然會蘊含矛盾。2+2=5又怎樣?說不定那是一個奇怪的數學系統,在那裡面2+2就是等於5。要讓前提矛盾,僅僅把一個實際上不為真的2+2=5放進去是不夠的,至少要有P和not P同時出現才算數。如果這種例子可以用來說明從矛盾可以推出任何結論,那麼下面這個也可以︰

  1. 羅素是教宗
  2. 根據1,羅素是教宗

那麼,是不是我們在前提裡加上「並非2+2=5」就可以構築一個能夠說明原來那個現象的例子呢?

  1. 2+2=5,而且並非2+2=5
  2. 把兩邊各減去2,得到2=3
  3. 左右互換,兩邊各減去1,得到2=1
  4. 教宗與羅素是兩個人而且2=1,所以教宗等於羅素

還是不行,因為在這個例子裡,結論之所以能夠被推導出來,和前提是否蘊含矛盾一點關係也沒有。(也就是說,即使前提不蘊含矛盾,推出結論所必須的那些步驟還是一樣會有效)

因此,就算這個例子的前提蘊含矛盾,它依然沒辦法被用來解釋為什麼蘊含矛盾的前提可以導出任何結論。

對於這件事,標準的解釋是這樣︰

  1. P,而且not P
  2. P〔根據1〕
  3. P或Q〔根據2〕
  4. not P〔根據1〕
  5. Q〔根據3、4〕

在(3)中,Q可以是任何句子。因為(1)已經給定了P為真這件事,不管Q代表什麼句子,「P或Q」都會為真。

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