6.13.2008

說謊者悖論們

說謊者悖論是困擾邏輯學家和哲學家最久的悖論之一,它的結構很簡單,卻顯示出幾個普遍被認為毫無問題的幾個基本概念之間的不一致(inconsistence)。

說謊者悖論在歷史上有許多變種,以下簡單列出他們的特徵,希望將來能有時間一一討論。

Simple Liar (詳細資料)
前提
T-schema萊布尼茲定律Modus Ponens、歸繆法(如果由P可以導出矛盾,P不為真)、二值原則(排中律)
語句
P=「P is false」。
結果
P為真而且P不為真。
敘述
這個悖論在多值邏輯下無法導出矛盾。


Strengthened Liar (詳細資料)
前提
T-schema、萊布尼茲定律、Modus Ponens、歸繆法
語句
P=「P is not true」。
結果
P為真而且P不為真。
敘述
當代說謊者悖論的標準款式,當哲學家提到說謊者悖論,大多指的是這一種。


Contingent Liar
前提
T-schema、萊布尼茲定律、Modus Ponens、歸繆法
語句
  1. A說「所有的克里特島人說的每一句話都是假話」(=P)。
  2. A是克里特島人。
  3. 除了P這句話之外,所有的克里特島人說的每一句話都不為真。
結果
P為真而且P不為真。
敘述
這個悖論是最古老的版本,也是唯一除了關於語言表達力的事實之外,還需要其它偶然事實作為前提的版本。


Curry’s Paradox
前提
T-schema、萊布尼茲定律、Modus Ponens、歸繆法
語句
P=「If P is true, then Q」。
結果
Q為真,不管Q代表什麼句子。
敘述
可以用來證明上帝和粉紅色皮卡丘的存在。


Yablo’s Paradox
前提
T-schema、萊布尼茲定律、Modus Ponens、歸繆法
語句
P1=「for any Pi, if i > 1, Pi is not true.」
P2=「for any Pi, if i > 2, Pi is not true.」
P3=「for any Pi, if i > 3, Pi is not true.」



Pn=「for any Pi, if i > n, Pi is not true.」

結果
對於所有Pn來說,Pn為真而且Pn不為真。
敘述
這個悖論不自我指涉(self-reference)。


說謊者悖論之所以讓哲學家感到困擾,是因為它蘊含矛盾。而在絕大多數的邏輯系統下,矛盾會蘊含任何事情。如果這個悖論是無法避免的,這些能夠從矛盾推論出任何事情的邏輯系統就無法用來捕捉人類的推論直覺,因為我們顯然不會僅因為P=「P is not true」這種句子的存在就相信任何事情。

總地來說,要構成說謊者悖論,我們需要

  1. T-schema
  2. 萊布尼茲定律
  3. Modus Ponens
  4. 歸繆法
  5. 一個表達力強到足以造出悖論語句的語言

T-schema認為所有具有「P為真,若且唯若P」這種形式的句子都為真;萊布尼茲定律主張如果P=Q,那麼Q會擁有所有P擁有的性質*1;Modus Ponens幾乎出現在所有邏輯系統裡,規定由「P」、「if P then Q」可以推出「Q」;歸繆法使得我們可以藉由推論出矛盾來證明某個句子為假;大致上,一個語言只要具有真述詞(「..為真」、「..為假」)以及自己的句子的名字,就可以造出符合悖論要求的語句。這些前提要嘛是直覺上完全沒問題的真理,要嘛是某些思考活動賴以為生的推論規則,要嘛是明顯的事實。要放棄它們之中的任何一個,都必須要有很大的決心和很強的自圓其說的能力。


註解
*1︰如果你讀了我關於萊布尼茲定律的介紹,會發現在這裡要構成悖論不需完整的萊布尼茲定律,只要有同一的不可區分性定律就夠了。
Reference
中正大學08年春王文方教授《真理論》課程內容

9 comments:

  1. 嗯 你介紹的很清楚哩
    curry's paradox要解決的話 一個可以思好的方向是 可以從subjunctive conditional的真值條件去著手

    舉例來說 
    "如果小明是他爸爸的爸爸 那麼上帝就存在"

    根據命題邏輯 這句話在所有可能世界都為真
    但是根據一般人的直覺 這句話似乎為假
    因為語句的前件與後件似乎缺乏了一種相關性(relevance) 我想這也是為啥有relevant logic的發展出來

    一點小小意見 供您參考

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  2. 嗯,很多悖論的產生都是因為horseshoe太爛了...

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  3. 悖論感覺是人類拿石頭砸自己的腳,當然也可以拿來砸別的人的腳.或者用來訓練自己的腳不要被別人砸到.

    悖論告訴我們,人類造出的系統還是不夠完美.不過這世界並不會因為人類的悖論而停止運轉.

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  4. 請教Curry’s Paradox:
    1.P為假 (假設)
    2.~(P->Q)為真
    3.~(P->Q)
    4.~(~P \/ Q)
    5.P /\ ~Q
    6.P

    #6與#1矛盾,故P永真?
    因為Curry’s Paradox出現在另一篇文章里,而且論證過程直接假設P為真,所以我不太明白這里的意思
    這里不討論語言階層論和真理的修正理論

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  5. onemanga︰

    你使用的是歸繆法︰假設要證明的命題的反面,導出矛盾,用IP回收。這在命題邏輯裡是合法的推論方法。

    你提到的另外一種方法應該是conditional proof︰P是一個條件句,要證明條件句為真,可以假設前件,想辦法推導出後件,再用CP回收。由於P的前件就是P自己,所以在這裡假設前件時就是假設P。

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  6. phiphicake:
    可是conditional proof證明的是條件句/蘊含關系為真,只要條件句前件不為真,就沒法推出后件。若只證明條件句為真,并沒證明“上帝或粉紅色比卡丘的存在”,不是嗎?

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  7. onemanga︰

    你講的沒有錯。在一個條件句上做CP,只能證出那個條件句為真,沒辦法用來證明它的前件為真。

    不過,在Curry paradox裡,P這個條件句的前件就是它自己,所以當我們證明了P這個條件句為真,我們也就等於證明了它的前件為真。

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  8. 原来如此...谢了。

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  9. 1.A說「所有的克里特島人說的每一句話都是假話」(=P)。
    2.A是克里特島人。
    3.除了P這句話之外,所有的克里特島人說的每一句話都不為真。

    這是一個永錯命題。
    假設A說的P為真,那麼P則為假。
    但假設P為假,那麼P也同樣為假,因為P為假的話隱藏了「有些克里特島人的人會說真話」,但不等於A一定就是那說真話的人,因此沒什麼矛盾悖論可言。
    P不論是真是假都是永錯命題而已,不是什麼悖論。

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