10.31.2009

虛數怎麼來的?

邏輯與計算課程上討論到一個有趣(!)的問題。

我猜想,日常生活中很少使用到非自然數的實數,更少用到非有理數的實數,而幾乎不會用到無理數。(我對數字不了解,但是,我們什麼時候會用到根號負一這種數?我確定領錢的時候不會用到,要不然你麻煩就大了。不過,我也不確定在那些實用的高科技產業或研究裡,或者在理論物理學裡,我們是不是會用到那類的數。我猜pyridine應該知道。)

那,為什麼我們會有無理數的概念?為什麼我們除了對1、15487、1/3、-97.2這些數有概念之外,也對根號負一這種數有概念?

我的一個猜測是,因為我們習慣推廣(generalize)學到的新數學技巧。當學會「找兩個一樣的數使得它們的積剛好是你面前的數」並賦予它一個符號(也就是根號),我們就情不自禁地開始把這個符號用在所有自己知道的數上面,所以就有了根號負一這種數,以及數學家的新工作。

11 comments:

  1. 老兄, 要明白這回事, 修讀抽象代數吧

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  2. Ball︰

    謝謝你。不過數學好難喔,我雖然很想知道那個問題的答案,可是,還沒有到那麼想..

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  3. If all you want is to count things, or to measure things, you don't need complex numbers. But if you want to do something more complicated, there is no reason to expect that real numbers are sufficient. For example, Fourier wanted to find a way to express functions as a series of "numbers". He showed that this is possible, but you need complex numbers. Real numbers are too limiting to express all functions. Today Fourier transform is used in many many devices. Cell phones, CD players, audio recorders, digital synthesizers, digital cameras... all those use fourier transform in some way.

    PS: It is possible to formulate the fourier transform without complex numbers, but that's not too important in this context.

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  4. 我猜問題其實沒有那麼複雜。
    試想數學家剛學會一元二次方程式,然後發現「幹!x^2-x+1=0 這個方程式找不到實數解欸!」的時候會怎麼辦。

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  5. pyridine︰

    that's helpful, thank you!

    retsnimle︰

    二元一次方程式...

    原來我會把問題想得那麼複雜,是因為數學不好...

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  6. 對, 'count' 從來只用自然數.. 或者應該說, 數學家用自然數來定義什麼叫作'count'. 同樣地, 數學家做'measure', 是用千方百計把這個花花世界與正實數連上關係, 其中最實用的例子就是Probability Theory.

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  7. 補充
    雖然人類比較早發現二次方程式的負數根問題,但虛數並不是因此引進的,因為當時處理此類問題的方式是直接放棄,然後認定這種問題無意義。

    實際上人類開始研究非實數是因為三次方程式的緣故。(因為其中一個實數根顯然是有意義的,那另兩個根該如何解釋呢?)

    複數在電機領域有廣泛應用,像是處理電壓/電流的相位,控制系統,還有訊號處理等等。

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  8. 有一點補充資料。
    希望有用。

    http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php

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  9. 嗯,這個,似乎是有點無聊的問題
    不過"非有理數的實數"不就是"無理數"嗎= =?

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  10. 像"根號負一"這樣的數就不屬於實數,稱為虛數
    意即:在現實生活中觀察不到的數

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  11. 呆呆:

    我確實覺得這個問題不有趣,這也是為什麼文章第一段有個括號裡的驚嘆號,表示「What!?」。

    不過我想這篇文章關切的那個(不有趣的)問題並不是什麼是無理數,而是無理樹的概念是怎麼來的。

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